Hausdorffraum


Hausdorffraum
Hausdorff-Raum (T2)

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Beispiele sind

Ein Hausdorff-Raum (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das folgende Trennungsaxiom T2 (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom genannt) gilt:

Für alle x,y aus M mit xy existieren disjunkte offene Umgebungen U(x) und V(y).

Mit anderen Worten: alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein Hausdorff-Raum ist präregulär (R1):

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und hat die Kolmogoroff-Eigenschaft (T0):

alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht.

Beweis:

  • Wenn R1 und T0 gegeben sind, folgt unmittelbar T2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T2 auf R1 und T0 geht so:
    • Aus der Definition von T2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U(x), die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T0.
    • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist xy. Dann folgt mit T2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R1.

Spezialisierung

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Beispiele

Insbesondere sind in topologischen Hausdorff-Räumen Grenzwerte - anders als in allgemeinen topologischen Räumen - eindeutig.

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

  • B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Satz von Bing-Nagata-Smirnow — Der Satz von Bing Nagata Smirnow (nach R. H. Bing, J. Nagata und J. M. Smirnow) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, der diejenigen topologischen Räume charakterisiert, deren Topologie durch eine Metrik definiert werden… …   Deutsch Wikipedia

  • 2-Mannigfaltigkeit — Als Fläche bezeichnet man in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Topologie eine 2 dimensionale Mannigfaltigkeit. Beispiele im 3 dimensionalen Raum gewinnt man, wenn man die Oberflächen von Vollkörpern betrachtet.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schilow-Rand — Der Schilow Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov Rand ) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten… …   Deutsch Wikipedia

  • Fläche (Topologie) — Als topologische Fläche bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine 2 dimensionale Mannigfaltigkeit. Der Begriff ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der regulären Fläche der Differentialgeometrie. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Total unzusammenhängender Raum — Total unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen (und die leere Menge, wenn man sie hier einbeziehen will) offenbar zusammenhängend. Die total… …   Deutsch Wikipedia

  • Anschauungsraum — Als Raum wird in der Mathematik eine mit einer Struktur versehene Menge bezeichnet. Eine in allen Gebieten der Mathematik zutreffende Definition hat das Wort „Raum“ selbst nicht erfahren. In vielen mathematischen Teilgebieten hat das Wort aber… …   Deutsch Wikipedia

  • Antiliminale C*-Algebra — Liminale C* Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C* Algebren. Diese C* Algebren werden von manchen Autoren auch CCR Algebren (CCR steht für completely continuous representations, d.h. kompakte Darstellungen) genannt, unter… …   Deutsch Wikipedia

  • Auflösbar — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Baire'scher Kategoriensatz — Der Satz von Baire, auch als bairescher Kategoriensatz bezeichnet, gilt für eine Vielzahl topologischer Räume, die in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, wie der Maßtheorie und der Funktionalanalysis verwendet werden. In seiner klassischen …   Deutsch Wikipedia

  • Bairescher Kategoriensatz — Der Satz von Baire, auch als bairescher Kategoriensatz bezeichnet, gilt für eine Vielzahl topologischer Räume, die in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, wie der Maßtheorie und der Funktionalanalysis verwendet werden. In seiner klassischen …   Deutsch Wikipedia