Hausdorffs Maximalkettensatz

Der Maximalkettensatz wird meistens als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet. Es handelt sich um ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre, das eng mit dem Lemma von Zorn verbunden ist. Es ist zu diesem (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) sogar äquivalent (damit also auch zum Auswahlaxiom).

Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre.

Das Maximalitätsprinzip lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben sei eine teilweise geordnete Menge $(P, {\le})$ und darin eine Teilmenge K, die bzgl. der gegebenen Ordnungsrelation ${\le}$ eine Kette darstellt, d. h. für je zwei Elemente k₁ und k₂ von K gilt entweder $k_1 \le k_2$ oder $k_2 \le k_1$.

Dann existiert eine K umfassende Kette K₀ von $(P, {\le})$, die ihrerseits von keiner anderen Kette von $(P, {\le})$ echt umfasst wird.

In Kurzform besagt das Maximalitätsprinzip also, dass in einer geordneten Menge eine jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden kann. Dieses motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz.

Die hier wiedergegebene Fassung des Maximalitätsprinzips ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise genannt wird. Streng bewiesen hat Felix Hausdorff in den Grundzügen eine äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung seines Maximalitätsprinzips:

In einer geordneten Menge $(P, {\le})$ existiert stets mindestens eine Kette, die von keiner anderen Kette von $(P, {\le})$ echt umfasst wird.

Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an den Beweis des Maximalkettensatzes auf die hier zitierte Fassung hin.

Literatur

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, Kapitel 6, § 1, Veit & Comp., Leipzig 1914 (reproduziert in Srishti D. Chatterji et al. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2)