Hellmann-Feynman-Theorem

Das Hellmann-Feynman Theorem ist ein Theorem in der Quantenmechanik, welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Es ist nach seinen Entdeckern Hans Hellmann (1936) und Richard Feynman (1939) benannt.

Im Allgemeinen besagt das Theorem:

$\frac{\partial {E_n}}{\partial {\lambda}}=\int{\psi_n^*\frac{\partial{\hat{H}}}{\partial{\lambda}}\psi_nd\tau}$

$\hat{H}$ ist der parametrisierte Hamiltonoperator,

E_n ist der n'te Eigenwert des Hamiltonoperators,

ψ_n ist der n'te Eigenvektor des Hamiltonoperators,

λ ist der Parameter, der interessiert

und dτ bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.

Der Beweis

Der Beweis ist, wenn man rein formal vorgeht, recht einfach. In der Dirac'schen Bra-Ket-Notation, können wir schreiben

$\begin{align} \frac{\partial E_{\lambda}}{\partial\lambda} &= \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\ &=\langle\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}|\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle + \langle\psi(\lambda)|\hat{H}_{\lambda}|\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\ &=E_{\lambda}\langle\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle + E_{\lambda}\langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\ &=E_{\lambda}\frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\ &=\langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle. \end{align}$

da gilt:

$\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle = E_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle,$

$1 = \langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle \Rightarrow 0 = \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle.$

Für eine kritische, mathematische Betrachtung dieses Beweises, siehe ^[1].

Referenzen

1. ↑ David Carfì: The pointwise Hellmann–Feynman theorem. In: AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences. 88, Nr. 1, 2010. doi:10.1478/C1A1001004.

Siehe auch

• Quantenmechanik
• Quantenchemie
• Hans Hellmann
• Richard Feynman