Helmholtz-Differentialgleichung

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

$\Delta \varphi= \lambda \cdot \varphi$

in einem Gebiet Ω und geeigneten Randbedingungen auf dem Rand $\partial \Omega$. Dabei ist

$\Delta=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten.

Die Helmholtz-Gleichung ist dementsprechend eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDE. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit.

Setzt man λ = 0, so erhält man die Laplace-Gleichung.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgt in Gaussschen cgs-Einheiten mit der Lorenz-Eichung: $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0$

die Gleichung für das elektrische Skalarpotential Φ:

$\Delta\Phi(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi\varrho(\vec{r},t)$

sowie die Gleichung

$\Delta A_i(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi j_i(\vec{r},t)$

für das magnetische Vektorpotential $\vec{A}$ (hier für die einzelnen Komponenten mit: $\vec{A}=\sum_{i=1}^3 A_i\hat{e}_i$)

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Φ = Φ_hom. + Φ_part.

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung

Exemplarisch wird nun die Lösung für Φ durchgeführt. Mit $\Phi\rightarrow A_i$ hat man dann auch gleichzeitig die Lösungen für $\vec{A}$. Wir bilden zunächst die Fourier-Transformierten von Φ und $\varrho$

$\Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\varrho(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

und setzen diese als Ansatz für die Maxwellgleichung $\Delta\Phi(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi\varrho(\vec{r},t)$ ein:

$\Delta\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

Beide Integranden müssen gleich sein, da sich die dω-Integration über die gleichen Bereiche erstreckt:

$\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=-4\pi\varrho_\omega(\vec{r})$

Für $\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=\left(\Delta+{k^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=0$ erkennen wir die Helmholtz-Gleichung wieder.

Hier ist k der Betrag des Wellenvektors und heißt Kreiswellenzahl. ${k}=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}$ wobei λ die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle ist.

Zur Lösung dieses Problems betrachten wir zunächst

$\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)G(\vec{r})=-4\pi\delta(\vec{r})$

Wir suchen nun also zunächst die Greensche Funktion zum Differentialoperator $D_{op}=\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}$

Diese lautet:

$G(\vec{r})=\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dies ist also die Lösung für eine Punktladung am Ort $\vec{r}$. Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

$\Phi_\omega(\vec{r})=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fouriertransformierte für $\Phi(\vec{r},t)$ ein und erhalten

$\Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}e^{-i\omega t} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp\left(\pm i\omega (|\vec{r}-\vec{r}'|/c\mp t)\right)$

Wir ersetzen nun $t':=\mp |\vec{r}-\vec{r}'|/c\mp t$:

$\Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}e^{-i\omega t} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp(-i\omega t')$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d^3r'\,\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}')e^{-i\omega t'} =\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Wir setzen nun wieder $t'=t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c$ ein:

$\Phi(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichung. Sie gilt sowohl für Φ als auch für A_i. Damit folgt analog:

$A_i(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{j_i(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

$\Rightarrow\vec{A}(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\vec{j}(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung

Noch steht das Vorzeichen im Argument $t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c$ nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei $\vec{r}'$ erst zu einem späteren Zeitpunkt bei $\vec{r}$ beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

$\Phi(\vec{r},t)_{ret.}=\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t-|\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Weblinks

• Helmholtzgleichung bei Weisstein