Hilbert-Raum


Hilbert-Raum
Hilbertraum

berührt die Spezialgebiete

ist Beispiel für

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum), benannt nach dem Mathematiker David Hilbert, ist ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt.

Er ist ein Spezialfall eines Innenproduktraums (= Prähilbertraums), d. h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt (= Innenprodukt). Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum. Insbesondere können Hilberträume auch unendlichdimensional sein, wenn nur die Länge, also \| v \| (||\cdot|| ist die Norm des Raumes), jedes Vektors aus diesem Raum endlich ist.

Notation

In diesem Artikel werden Variablen für Vektoren nicht gesondert gekennzeichnet, es werden also gewöhnliche kursive Kleinbuchstaben verwendet: u,v,w,x,y. Das Skalarprodukt von u und v wird mit \langle u, v \rangle bezeichnet. Im komplexen Fall wird vorausgesetzt, dass bzgl. eines der Argumente des Skalarprodukts, etwa des zweiten, Linearität und bzgl. des anderen Semilinearität gilt: \langle u,v \rangle\,\lambda = \langle u,  \lambda v \rangle  = \langle \bar\lambda u, v \rangle \,.

Bedeutung

Der hohe Grad an mathematischer Struktur in Hilberträumen vereinfacht die Analysis ungemein, und so spielen sie in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenmechanik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbertraum bilden.

Dualraum

Jeder Hilbertraum ist zugleich ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Rieszsche Darstellungssatz: Jeder reelle Hilbertraum ist mittels der Abbildung H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle \,\cdot\,,\,v\rangle isometrisch isomorph zu seinem (topologischen) Dualraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums ist diese Abbildung zwar nur semilinear, aber es ist möglich, mittels einer semilinearen, normerhaltenden Bijektion H \rightarrow H, die man über eine Orthonormalbasis erhält, einen isometrischen Isomorphismus H \rightarrow H^\prime zu konstruieren. In beiden Fällen ist der Hilbertraum außerdem isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.

Die Eigenschaft, dass die kanonische Inklusion eines Raumes in seinen Bidualraum ein isometrischer Isomorphismus ist, nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.

Beispiele für Hilberträume

  • \mathbb{R}^{n} mit dem Standardskalarprodukt \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n.
  • \mathbb{C}^{n} mit \langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \cdots + \bar u_n v_n.
  • Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen (L2) mit dem L2-Skalarprodukt: \langle f,g \rangle =\int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x. Eine exaktere Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über Lp-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
  • Der Raum \ell^2 aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlich-dimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu \ell^2 sind.
  • Der Raum AP2 der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu \lambda\in\mathbb R betrachte man die Funktionen f_\lambda:\mathbb R\rightarrow\mathbb C mit f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}. Durch das Skalarprodukt \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t wird der Raum \operatorname{lin}\left\{f_\lambda:\lambda\in\mathbb R \right\} (der von den Funktionen fλ aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung AP2 dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass er im Gegensatz zu den obigen Beispielen ein Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum ist.
  • Ein unendlichdimensionaler reeller bzw. komplexer Hilbertraum lässt sich auch mit sin- und cos-Funktionen aufspannen, die -periodisch sind. Als Skalarprodukt verwendet man im komplexen Fall \langle v,w \rangle =\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \overline{v(t)}\cdot w(t)\,{\rm d}t. Dann bilden die Funktionen \left \{ \sin (n\cdot t ), \,\cos (m\cdot t)|\; n \in \{1, 2, ...\}, m\in\{ 0, 1, 2,...\}, t\in [0,2\pi ]  \right\} als Vektoren des Raums der quadratintegrierbaren -periodischen Funktionen eine unendlichdimensionale Orthonormalbasis dieses Hilbertraumes (s. Fourier-Reihe).

Orthogonalität

Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die Orthogonalbasen eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die lineare Hülle im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen keine Basis im üblichen Sinn der linearen Algebra (Hamelbasis). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. Die Vektoren vi bilden also genau dann ein Orthonormalsystem, wenn  \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} für alle i,j. Dabei ist δij das Kronecker-Delta.

Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis. Es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden.

Fourierkoeffizient

Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über \mathbb R bzw. \mathbb C und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei  B = (b_1, b_2, \dots) eine Orthonormalbasis und v ein Vektor aus dem Hilbertraum.

Da B eine Basis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten  \alpha_k\in \mathbb R bzw. \mathbb C, so dass v=\sum\limits_k\alpha_k b_k. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis:  \langle  b_n, v \rangle = \bigg\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\bigg\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle. Da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist, erhält man so \langle b_n, v \rangle  = \alpha_n .

Der n-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden.

Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

Akademischer Humor

An mehreren deutschsprachigen Universitäten gibt es als „Hilbertraum“ bezeichnete Räumlichkeiten; an der Georg-August-Universität in Göttingen etwa, an der David Hilbert lange Jahre lehrte und forschte, trägt das Foyer des mathematischen Institutes, in dem eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist, diesen Namen.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Hilbert-Raum — Hịlbert Raum   [nach D. Hilbert], ein Vektorraum V über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt, der hinsichtlich der durch dieses Skalarprodukt induzierten Norm vollständig (Vollständigkeit) ist. Bezeichnet : V × V… …   Universal-Lexikon

  • Hilbert-Raum — Hilberto erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hilbert space vok. Hilbert Raum, m rus. гильбертово пространство, n pranc. espace de Hilbert, m; espace hilbertien, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Raum-Zeit-Umkehr — Raum Zeit Umkehr,   Elementarteilchen und Quantenfeldtheorie: eine Symmetrieoperation im Hilbert Raum der Zustandsvektoren eines quantenmechanischen Teilchensystems, die aus gleichzeitiger Paritätstransformation (Raumspiegelung) P (Parität) und… …   Universal-Lexikon

  • Raum — Stube; Zimmer; Kammer; Gelass; Gemach; Gegend; Areal; Ort; Bezirk; Platz; Region; Fläche; Bereich; …   Universal-Lexikon

  • Hilbert space — Hilberto erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hilbert space vok. Hilbert Raum, m rus. гильбертово пространство, n pranc. espace de Hilbert, m; espace hilbertien, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Hilbert-Schmidt-Operator — In der Mathematik ist ein Hilbert Schmidt Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die sogenannte Hilbert Schmidt Norm, endlich ist. Die Hilbert Schmidt… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilbert-Schmidt-Klasse — In der Mathematik ist ein Hilbert Schmidt Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die sogenannte Hilbert Schmidt Norm, endlich ist. Die Hilbert Schmidt… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilbert-Schmidt Operator — In der Mathematik ist ein Hilbert Schmidt Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die sogenannte Hilbert Schmidt Norm, endlich ist. Die Hilbert Schmidt… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilbert-Basis — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • David Hilbert — (1912) David Hilbert (* 23. Januar 1862 in Königsberg[1]; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik u …   Deutsch Wikipedia