Alternierende Multilinearform

Eine p-Multilinearform ω ist in der Mathematik eine Funktion, die p Argumenten $v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}$aus K-Vektorräumen $V_1, \ldots, V_p$ einen Wert $\omega(v_1,\ldots,v_p) \in K$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist.

Multilinearformen

Eine Abbildung

$\omega: V_1\times \cdots \times V_p \rightarrow K\ ,\ (v_1,\ldots,v_p) \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right)$,

welche für alle $v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}$, $\lambda,\mu \in K$ und $w_i \in V_i$ für festes, beliebiges $i \in \{1, \ldots, p\}$

$\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i+\mu \;w_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\mu\;\omega\left(v_1,\ldots,w_i,\ldots,v_p\right)$

erfüllt, heißt multilineare Abbildung. Die Menge aller multilinearen Abbildungen $\mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p)$ bildet einen K-Vektorraum. Im Fall $V_1 = \cdots = V_p =: V$ schreibt man $\mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V)$.

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform $\omega \in \mathcal{J}^p(V)$ heißt alternierende Multilinearform, falls sie bei Vertauschung von je zwei Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, d.h.

$\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)$

für alle $v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\}$ und $i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j$.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen Ω^p(V) ist ein Unterraum von $\mathcal{J}^p(V)$.

Wichtig ist der Spezialfall $\ p = \dim V$. Dann ist $\ \Omega^p(V)$ ein 1-dimensionaler Unterraum von $\mathcal{J}^p(V)$, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele

1. Linearformen (Skalarprodukt mit vorgegebenem Vektor) sind genau die 1-Multilinearformen.

2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen.

3. Bildet man aus n Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also ω definiert durch

$\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):= \det\begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix}$

eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v₁,v₂,v₃ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:

$v_1=\begin{pmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \\ v_{1z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_2=\begin{pmatrix} v_{2x} \\ v_{2y} \\ v_{2z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_3=\begin{pmatrix} v_{3x} \\ v_{3y} \\ v_{3z} \end{pmatrix}$.

4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume V_i identisch sind (also V_i = V), ist die p-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p-ter Stufe.

Verallgemeinerung

Es seien Moduln $B,A_1 , \ldots , A_n$ über einem kommutativen Ring R gegeben. Eine Abbildung $m : A_1 \times \cdots \times A_n \to B$ heißt multilineare Abbildung, wenn sie in jeder Komponenten linear ist, d.h., für alle $i \in \{1,\cdots,n\}$ und alle $a_j \in A_j , j \neq i$ ist

$A_i \to B ,~ a_i \mapsto m(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)$

ein R-Modulhomomorphismus.

Multilinearformen sind spezielle multilineare Abbildungen, für die nämlich R ein Körper und B = R ist.

Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung $A_1 \times \cdots \times A_n \to B$ gibt es genau einen Homomorphismus $A_1 \otimes_R \cdots \otimes_R A_n \to B$, so dass das folgende Diagramm kommutiert: