Immersion (Mathematik)


Immersion (Mathematik)
Eine nicht injektive Immersion: R → R2, t → (t2 − 1, t · (t2 − 1))

In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung F: M\rightarrow N zwischen Mannigfaltigkeiten M und N, wenn der Pushforward F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N dieser Abbildung an jedem Punkt p\in M injektiv ist. Ist darüber hinaus F eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu M diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von N.

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n vor, so stellt F_\ast nichts anderes als die totale Ableitung DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird.

Siehe auch

Literatur

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, 2003 New York, ISBN 0-387-95448-1



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