Immersion einer Mannigfaltigkeit


Immersion einer Mannigfaltigkeit

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Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten sind Objekte im Bereich der Differentialgeometrie in der Mathematik.

Das Bild einer Mannigfaltigkeit \tilde S unter einer differenzierbaren Abbildung ψ in eine weitere Mannigfaltigkeit M ist im Normalfall keine Untermannigfaltigkeit von M. Schon lokal verliert man Informationen, falls ψ keine Immersion ist. Selbst dieses Bild muss noch keine Untermannigfaltigkeit sein. Im Englischen wird ein solches Bild eine immersed submanifold genannt, im Deutschen eher die Immersion einer Mannigfaltigkeit.

Definition

Das Bild \tilde S einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit S in eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit M unter einer Immersion \psi:S\to M wird Immersion einer Mannigfaltigkeit genannt.

Unterscheidung zur Untermannigfaltigkeit

Es gibt zwei Gründe, aus denen die Immersion einer Mannigfaltigkeit keine Untermannigfaltigkeit sein kann:

  • Die Immersion ψ ist nicht injektiv, die Immersion schneidet sich selbst. (s. Abbildung 1)
  • Selbst wenn die Immersion ψ injektiv ist, kann es sein, dass die Abbildung kein Homöomorphismus ist, da das Bild offener Enden inneren Punkten von \tilde S beliebig nahe kommen kann, so dass die Topologie von \tilde S nicht mit der von S übereinstimmt. (s. Abb. 2)
Abb. 1: Reelle Zahlen immersiv abgebildet in die Ebene mit Selbstschnitten
Abb. 2: Offenes Intervall injektiv und immersiv abgebildet, so dass die offenen Enden auf die mit Pfeilen markierten Enden abgebildet werden

Literatur

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2., korrigierte Auflage, Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 978-3-7643-7105-0.

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