Impuls (Mechanik)


Impuls (Mechanik)
Physikalische Größe
Name Impuls
Größenart Impuls
Formelzeichen der Größe p
Größen- und
Einheiten-
system
Einheit Dimension
SI N·s
kg·m·s−1
M·L·T−1

Die physikalische Größe Impuls ist eine Vektorgröße, hat also einen Betrag und eine Richtung. Der Impuls entspricht dem, was umgangssprachlich unter der Wucht verstanden wird, die jemanden zur Seite stößt, oder unter dem Schwung, der ein Auto aus der Kurve trägt. Anders als der Fachbegriff Impuls ist die Umgangssprache aber mehrdeutig: Je nach Zusammenhang meint Wucht auch kinetische Energie, Schwung kann auch für Drehimpuls stehen. Zudem wird unter Wucht oder Schwung oft nur deren Betrag unabhängig von der Richtung verstanden.

Jeder bewegliche Körper kann Impuls beispielsweise bei Stößen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen oder von anderen Körpern übernehmen. Auch Felder können Impuls besitzen und Impuls von Teilchen aufnehmen oder auf Teilchen übertragen.

Der Impuls ist eine additive Erhaltungsgröße. Wenn die (Vektor-) Summe der äußeren Kräfte verschwindet, bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Da die Summe der anfänglichen Impulse auch später gleich der Summe der Impulse sein muss, schränkt die Impulserhaltung Vorgänge ein, bei denen sich – wie bei Stößen – die Geschwindigkeiten ändern.

Der Impulserhaltungssatz spricht aus, dass Teilchen träge sind. Um ihre Geschwindigkeit zu ändern, muss Impuls übertragen werden. Der pro Zeit übertragene Impuls \vec{p} ist die Kraft \vec{F},

\frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t} = \vec{F}\,.

Inhaltsverzeichnis

Definition

In Newtons Mechanik ist der Impuls \vec{p} eines Teilchens das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit \vec{v}\,,

\vec p = m \, \vec v\,.

Impuls und Geschwindigkeit sind dabei Vektoren mit gleicher Richtung.

Er erfüllt zusammen mit der Masse und der kinetischen Energie die Beziehung

E_{\text{kinetisch}} = \frac{\vec p^{\,2}}{2\, m}\,.

In der relativistischen Physik hängt der Impuls eines Teilchen nichtlinear mit seiner Geschwindigkeit zusammen, (c ist die Lichtgeschwindigkeit),

\vec p = \frac{m \, \vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\,,\ {v}^2< c^2\,.

Er erfüllt mit der Masse und der Energie

E = \frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

die Energie-Impuls-Beziehung

E^2 - \vec p^{\,2}\, c^2=m^2\,c^4\,.

Die Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für Photonen. Sie sind masselos und bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Anders als bei massiven, langsameren Teilchen hängt beim Photon der Betrag seines Impulses nicht von seiner Geschwindigkeit ab. Die Energie eines Photons ist bis auf einen Faktor c der Betrag seines Impulses, seine Masse verschwindet,

E_{\text{Photon}}= c\,|\vec{p}_{\text{Photon}}|\,,\,m_{\text{Photon}}=0\,.

Die Energie und der Impuls, den gegeneinander bewegte Beobachter bei einem Teilchen feststellen, gehen durch eine Lorentztransformation auseinander hervor.

Die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes ist das Kreuzprodukt des elektrischen und des magnetischen Feldes

\frac{1}{c^2}\vec{E}\times\vec{H}\,.

Mit c2 multipliziert ist dies die Energiestromdichte, der Poynting-Vektor. Integriert man die Impulsdichte über ein Volumen, so erhält man den Impuls des elektromagnetischen Feldes in diesem Volumen.

Impulserhaltung

Anstoß beim Billard: Der Impuls der weißen Kugel verteilt sich auf alle Kugeln.

Nach dem Impulserhaltungssatz ist die Summe der einzelnen Impulse in abgeschlossenen Systemen konstant, das heißt der Impuls ist eine additive Erhaltungsgröße.

Nach dem Noether-Theorem ist im betrachteten physikalischen System der Impuls genau dann erhalten, wenn die Bewegungsgleichungen (genauer die Wirkung) sich bei einer räumlichen Verschiebung nicht ändern, sondern an jedem Ort gleich sind.

Die Erhaltung des Impulses ist von der Erhaltung der Energie unabhängig; Impulserhaltung gilt beispielsweise sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen, also auch, wenn die kinetische Energie nicht erhalten bleibt. Umgekehrt ist die Energie bei der Relativbewegung der Erde um die Sonne erhalten, obwohl sich ihr Impuls während des Umlaufs ändert.

Kraftstoß

Impulsübertrag durch zentralen, elastischen Stoß mit einer gleich großen Masse

Die durch eine Kraft im Laufe einer kurzen Zeit bewirkte Impulsänderung wird auch als Kraftstoß bezeichnet. Die Bezeichnung ist veraltet.

Zum Beispiel überträgt der Abschlag eines Golfballes Impuls auf den zunächst ruhenden Ball. Dabei hat die Kraft normalerweise einen pulsförmigen Verlauf, das heißt, sie steigt von Null auf einen Höchstwert an und fällt dann wieder auf Null ab.

Der kanonische Impuls

Im Hamilton-Formalismus und in der Quantenmechanik ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Die möglichen Paare (q,p) von Orten q und kanonischen Impulsen p eines physikalischen Systems bilden in der hamiltonschen Mechanik den Phasenraum.

Siehe auch: Generalisierter Impuls

Impuls in strömenden Medien

Bei kontinuierlich verteilter Masse, wie beispielsweise in der Strömungsmechanik, enthält ein kleines Gebiet um den Punkt \vec{x} die Masse \rho(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x\,. Dabei ist d3x das Volumen des Gebietes. \rho(t,\vec{x}) ist die Massendichte am Ort \vec{x}. Sie kann sich mit der Zeit t ändern.

Der Impuls in diesem Gebiet ist Masse mal Geschwindigkeit \rho(t,\vec{x})\,\vec{v}(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x. Massendichte mal Geschwindigkeit ist also die Impulsdichte \rho\, \vec{v}\,.

Die Kontinuitätsgleichung

 \frac{ \partial (\rho\, \vec{v}) }{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} (\rho\, \vec{v}\,v^i) =  \vec{f}

besagt, dass sich der Impuls in einem kleinen Gebiet nur dadurch ändern kann, dass unausgeglichen Impulsstrom in das und aus dem Gebiet strömt und dass eine Kraft wirkt.

Hier ist der erste Term auf der linken Seite die Änderung der Impulsdichte mit der Zeit und der zweite Term beschreibt die räumliche Änderung des Impulsstromes. Die rechte Seite ist die auf das Volumenelement wirkende Kraftdichte; zum Beispiel der Gradient des Drucks oder das Gewicht,  \vec{f}_{\text{Gravitation}}=\rho\, \vec{g}\,.

Siehe auch: Navier-Stokes-Gleichungen

Impuls in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik hat ein physikalischer Zustand normalerweise keinen genauen Impuls. Es kann nur die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, dass der Impuls eines Teilchens in diesem oder jenem Bereich liegt. Entsprechendes gilt für den Ort. Für Impuls und Ort gilt die heisenbergsche Unschärferelation, nach der ein Teilchen nicht zugleich einen genauen Impuls und einen genauen Ort haben kann.

Eigenzustände des Impulsoperators sind ebene Wellen mit der Wellenlänge

\lambda=\frac{h}{p} ,

wobei h das plancksche Wirkungsquantum ist. Die De-Broglie-Wellenlänge λ von Materiewellen freier Teilchen ist also durch den Impuls bestimmt. Hier ist zu beachten dass der Impuls in der Quantenmechanik dem kanonischen Impuls, d.h. im allgemeinen nicht dem kinetischen Impuls, entspricht.

Siehe auch

Literatur

  • Feynman, Leighton, Sands: Lectures on Physics. Volume 1, 9 - 1, Reading, Ma., 1963.

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