Index (Mathematik)


Index (Mathematik)
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In der Mathematik bezeichnet Index (Plural: Indizes) eine Zahl oder eine Variable aus einer Indexmenge, die zur Nummerierung mathematischer Objekte herangezogen wird. In den Anfängen der Mathematik der Neuzeit wurde auch ein Funktionswert – f(x) in moderner Schreibweise – mittels tiefgestelltem Index x als fx bezeichnet. Die Notation ai für die Glieder einer Folge (als Funktion über natürlichen Zahlen) kann als Überbleibsel dieser älteren Schreibweise angesehen werden.

Inhaltsverzeichnis

Indexmenge

Wie aus der Notation fx schon hervorgeht, müssen die Indizes keineswegs immer natürliche Zahlen sein. Vielmehr kann jede endliche oder unendliche Menge Λ als Indexmenge benutzt werden, um mathematische Objekte zu einer Familie  \{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} zusammenzufassen.

Beispiele

In der Differentialgeometrie werden die Schnitte eines Vektorbündels oft in Indexschreibweise bezeichnet, um die Funktionsschreibweise für algebraische Operationen zwischen Fasern verschiedener Bündel über demselben Punkt frei zu haben.

Bei Funktionenscharen werden Scharparameter meist als Index notiert, während die „normalen“ Argumente in die Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden – z. B. ft(x).

In der Physik, speziell in den Tensordarstellungen der Physik, werden doppelte Indizes zur verkürzten Notation von Summen verwendet (einsteinsche Summenkonvention).

Auswahlfunktion

Der Index wird in der Mathematik formal als Abbildung von der Indexmenge in die Menge der indizierten Objekte.

Definition

Sind X_1,\ldots,X_n beliebige Mengen, so kann man das n-Tupel

x = (x_1,\ldots,x_n) mit x_1 \in X_1, \ldots, x_n \in X_n

als Abbildung

x\colon\, \{1,\ldots,n\} \rightarrow X_1\cup\ldots\cup X_n,\, i \mapsto x(i) =: x_i \in X_i,

auffassen. Man nennt x Auswahlfunktion. [1]

Auswahlaxiom

Möchte man sich nicht auf endlich viele Mengen Xi beschränken, sondern unendlich viele betrachten, dann ist die Existenz der soeben definierten Auswahlfunktion nicht klar. Das heißt es ist bei unendlich großen Indexmengen nicht immer möglich für die Auswahlfunktion eine konkrete Darstellung zu finden und damit die Existenz dieser zu zeigen. Dass eine solche Auswahlfunktion doch existiert wird durch das Auswahlaxiom sichergestellt. Jedoch sagt das Axiom nicht über die konkrete Darstellung der Auswahlfunktion.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0, S. 38.

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