Inkreis


Inkreis
Fünfeck mit Inkreis

Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.

Existiert der Inkreis eines Polygons mit Flächeninhalt A und Umfang u, so hat der Inkreisradius den Wert

r = \frac{2A}{u}.

Inhaltsverzeichnis

Inkreis eines Dreiecks

Dreieck mit Inkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels \alpha = \angle BAC haben den gleichen Abstand von den Seiten [AB] und [CA]. Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von \beta = \angle CBA den gleichen Abstand von [BC] und [AB]. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks ([AB], [BC] und [CA]) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt, so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten im Inneren – im Gegensatz zu den drei Ankreisen, die jeweils das Innere einer Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.

Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer X1.

Radius

Ist A der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten a, b und c, so berechnet sich der Radius r des Inkreises durch:

r = \frac{2 A}{a+b+c} = \sqrt{\frac{(s-a) (s-b) (s-c)}{s} }

mit

s = \frac{a+b+c}{2}

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

r = \frac{a}{\cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{b}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{c}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}

Koordinaten

Inkreismittelpunkt eines Dreiecks (X1)
Trilineare Koordinaten 1 \,: \, 1 \,: \, 1
Baryzentrische Koordinaten a \,: \, b \,: \, c

Weitere Eigenschaften

  • Die Entfernung zwischen der Ecke A und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich sa; dabei bedeutet s wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken B und C.
  • Die Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt.

Inkreise anderer Vielecke

Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

Vierecke, die einen Inkreis besitzen, heißen Tangentenvierecke. Zu ihnen gehören alle konvexen Drachenvierecke, insbesondere alle Rauten und Quadrate.

Regelmäßige Vielecke haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen n-Ecks mit der Seitenlänge a gilt:

r = \frac{a}{2 \tan\frac{180^\circ}{n}}

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Inkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Inkreis — Ịn|kreis 〈m. 1; Math.〉 Kreis in einem Vieleck, der jede Seite einmal berührt * * * Inkreis,   ein Kreis, der alle Seiten eines konvexen Polygons von innen berührt. Nicht alle konvexen Polygone besitzen Inkreise. Einen Inkreis haben z. B. alle… …   Universal-Lexikon

  • Inkreis — Ịn|kreis, der; es, e (Geometrie einer Figur einbeschriebener Kreis) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • Inkreismittelpunkt — Fünfeck mit Inkreis Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der… …   Deutsch Wikipedia

  • Feuerbachpunkt — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Neunpunktekreis — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Feuerbach — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Feuerbachkreis — Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (das …   Deutsch Wikipedia

  • Satz vom Tangentenviereck — Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks. Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Fläche des Dreiecks — Ein Dreieck mit üblichen Bezeichnungen und mit Umkreis, Inkreis und Teilen eines Ankreises Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von …   Deutsch Wikipedia

  • Dreieck — mit seinen Ecken, Seiten und Winkeln sowie Umkreis, Inkreis und Teil eines Ankreises in der üblichen Form beschriftet Ein Dreieck (veraltet auch Triangel[1], lateinisch: triangulum) ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich… …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.