Inverse Normalverteilung


Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift v > 0 und Streuungskoeffizient λ > 0 ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus a > 0 invers normalverteilt mit den Parametern \left(\frac{a}{v},\frac{a^{2}}{\lambda^{2}}\right).

siehe auch: Lévy-Prozess

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern λ > 0 (Ereignisrate) und μ > 0 (Mittelwert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)=\begin{cases}\displaystyle
             \left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}e^{\displaystyle -\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}} & x > 0 \\
             0                                                                                        & x\leq 0
           \end{cases} besitzt.

Zeichnung verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

 \operatorname{E}(X) = \mu .

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

\operatorname{Var}(X) = \frac{\mu^3}{\lambda}.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

\sigma = \sqrt{\frac{\mu^3}{\lambda}}

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta_2 = \frac{15 \mu}{\lambda} + 3 .

Die Exzess-Kurtosis ist

\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{15 \mu}{\lambda} .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2is}{\lambda}}\right)}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

m_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2s}{\lambda}}\right)}.

Reproduzierbarkeit

Sind X_1, \dots, X_n Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern λ und μ, dann ist die Größe \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern nλ und μ.


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Inverse Gauß-Verteilung — Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß Verteilung oder Wald Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen… …   Deutsch Wikipedia

  • Log-Normalverteilung — Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen X, wenn ln(X) normalverteilt… …   Deutsch Wikipedia

  • Log normalverteilung — Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen X, wenn ln(X) normalverteilt… …   Deutsch Wikipedia

  • Multivariate Normalverteilung — Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung mehrerer Zufallsvariablen nennt man multivariate Verteilung oder auch mehrdimensionale Verteilung. Inhaltsverzeichnis 1 Formale Darstellung 2 Ausgewählte multivariate Verteilungen 3 Die multivariate… …   Deutsch Wikipedia

  • Gauss-Verteilung — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia

  • Gaussfunktion — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia

  • Gausskurve — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia

  • Gausssche Verteilung — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia

  • Gaussverteilung — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia

  • Gauß'sche Glockenkurve — Dichten normalverteilter Zufallsgrößen Die Normal oder Gauß Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß Funktion, Gauß Kurve, Gauß… …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.