Isodynamischer Punkt

Die beiden isodynamischen Punkte gehören zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel. U₁ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von α mit der Geraden BC, V₁ der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit BC. Entsprechend seien die Punkte U₂ und V₂ (jeweils auf CA) sowie U₃ und V₃ (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise mit den Durchmessern [U₁ V₁], [U₂ V₂] und [U₃ V₃] zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als 1. isodynamischer Punkt bezeichnet (Kimberling-Nummer X₁₅), S' als 2. isodynamischer Punkt (Kimberling-Nummer X₁₆).

Koordinaten

Isodynamische Punkte (X15 und X16)
Trilineare Koordinaten	$\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)$
Baryzentrische Koordinaten	$a \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, b \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, c \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)$

Eigenschaften

• Die beiden isodynamischen Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden Fermat-Punkten.
• Die Inversion (Kreisspiegelung) am Umkreis führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.
• Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamischen Punkte sind gleichseitig.
• Die isodynamischen Punkte liegen auf der Brocard-Achse.

Weblinks

• Eric W. Weisstein (MathWorld): Isodynamic Points (First isodynamic Point und Second isodynamic Point)