Jacobi-Identität

Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung F: V \times V \rightarrow V auf dem Vektorraum V die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi) falls gilt:

F(F(x,y),z) + F(F(y,z),x) + F(F(z,x),y) = 0 \; \forall \, x,y,z \in V.

Ist die bilineare Abbildung antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im folgenden

[{\cdot},{\cdot}]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto[x,y]

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Liealgebra auf V definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

  • [x,[a,b]] = [[x,a],b] + [a,[x,b]]
Anders gesagt: die Abbildung
a\mapsto[x,a]
ist eine Derivation bezüglich des Produktes [,].
  • [[a,b],x] = [a,[b,x]] − [b,[a,x]]
Anders gesagt: Mit der Notation
\mathrm{ad}(a)\colon V\to V, \quad x\mapsto\mathrm{ad}(a)(x)=[a,x]
gilt
ad([a,b]) = [ad(a),ad(b)];
dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von V. Anders gesagt: Die Abbildung
\mathrm{ad}\colon V\to\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}\,V,\quad a\mapsto\mathrm{ad}(a)
ist eine Darstellung der Liealgebra V auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen

  • Guido Walz (Hrsg.): Jacobi-Identität. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3827404398.

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