Jordan-Chevalley-Zerlegung


Jordan-Chevalley-Zerlegung

Die Jordan–Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Lie-Algebren. Benannt wurde die Jordan–Chevalley-Zerlegung nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley. Diese Zerlegung ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus x: V \rightarrow V eines endlichdimensionalen Vektorraums V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe x = xs + xn, worin xs ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und xn ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt xsxn = xnxs.

Ist allgemeiner L eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer [\cdot, \cdot]) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und x \in L, so bezeichnet man x = xs + xn als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus ad(xs) ist halbeinfach, der Endomorphismus ad(xn) ist nilpotent, und es gilt [xs,xn] = 0. Darin wird für jedes y \in L die Abbildung ad(y) folgendermaßen definiert:

{\rm ad}(y): L \rightarrow L\ ,\ z \mapsto [y, z],

welches ein Endomorphismus von L ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall L = End(V), versehen mit der Lie-Klammer [f,g]: = fggf, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


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