Kanonische Vertauschungsrelationen


Kanonische Vertauschungsrelationen

Der Impulsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Impulsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand \Psi\, eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor |\Psi \rangle beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Impuls-Operator die Zusammenfassung der drei Observablen \hat{\mathbf{p}}=(\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3), so dass

E(\hat{p}_j)=\langle \Psi|\hat{p}_j\,|\Psi\rangle\ ,\quad j=1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Meßergebnisse der j-ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand \,\Psi ist.

Definition und Eigenschaften

 [\hat{x}_i,\hat{p}_j] = \mathrm{i}\,\hbar\,\delta_{ij}\ ,\quad
[\hat{x}_i,\hat{x}_j]= 0 = [\hat{p}_i,\hat{p}_j]\ ,\quad i,j\in \{1,2,3\}
in Analogie zu den Poisson-Klammern der Hamiltonschen Formulierung
\{x_i,p_j\}=\delta_{ij}\ ,\ \{x_i,x_j\}=0=\{p_i,p_j\}\,.
Der Faktor \hbar ist aus Dimensionsgründen erforderlich, denn Ort mal Impuls hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit i muss auftreten, da \hat{x}_i und \hat{p}_j selbstadjungiert sind und ihr Kommutator daher bei Adjunktion sein Vorzeichen wechselt.
  • Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen folgt, dass die drei Komponenten des Impulses gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum \mathbb{R}^3 besteht. Die möglichen Impulse sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums \mathbb{R}^3\,, jeder Zustand Ψ ist durch eine Ortswellenfunktion \psi(\mathbf{x}) gegeben. Die Ortsoperatoren \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator  \hat{x}_i wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion xi
(\hat{x}_i\, \psi)(\mathbf{x})= x_i\, \psi(\mathbf{x})\,.
Der mathematische Satz von Stone und von Neumann besagt dann, dass dann (bei geeigneter Wahl von Phasen) der Impulsoperator, der in den kanonischen Vertauschungsrelationen auftritt, auf Ortswellenfunktionen als Differentialoperator wirkt:
(\hat{p}_j\psi)(x)=-{\rm i}\,\hbar\,\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\psi\right)(x)\,.
Sein Erwartungswert ist
E(\hat{p}_j)=\langle \Psi| \hat{p}_j\,|\Psi\rangle=
\int \overline{\psi(\mathbf{x})}\,\left(-\mathrm{i}\, \hbar \frac{\partial}{\partial x^j}\psi(\mathbf{x})\right)\, \mathrm d^3 x\,.
  • In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf quadratintegrierbare Impulswellenfunktionen \tilde{\psi}(\mathbf{p})
(\hat{p}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_j\,\tilde{\psi}(\mathbf{p})
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator
(\hat{x}_i\,\tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm{i}\, \hbar\,\left(\frac{\partial}
{\partial p_i}\tilde{\psi}\right)(\mathbf{p})\,.
\hat{x}_i= l_i\frac{a_i+a_i^{\dagger}}{\sqrt{2}}\ ,\quad\hat{p}_j= \frac{\hbar}{l_j}\frac{a_j-a_j^{\dagger}}{\sqrt{2}\,\mathrm{i}}\,.
Dabei sind l1,l2,l3 frei wählbare Längen (größer Null) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren genügen den Vertauschungsrelationen
[a_i, a_j] = 0 = [a_i^\dagger, a_j^\dagger]\ ,\quad [a_i, a^\dagger_j] = \delta_{ij}\ ,\quad i,j\in\{1,2,3\}\,.

Warum ist der Impulsoperator ein Differentialoperator?

Nach dem Noether-Theorem gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße und umgekehrt. Beispielsweise ist der Impuls genau dann erhalten, wenn die Wirkung translationsinvariant ist. In der Hamiltonschen Formulierung erzeugt die Erhaltungsgröße die Symmetrietransformation im Phasenraum durch ihre Poisson-Klammer, der Impuls erzeugt Verschiebungen.

Auf eine Wellenfunktion ψ angewendet ergibt jede Verschiebung um a die verschobene Funktion (T_a\,\psi)\,, die an jeder Stelle x den Wert hat, den ψ am Urbild xa hatte,

(T_a\,\psi)(x)=\psi(x-a)\,.

Die Erzeugende dieser einparametrigen Schar von Verschiebungen definiert bis auf einen Faktor -\mathrm{i}/\hbar den Impuls, das heißt, der Impuls \hat{p} erfüllt definitionsgemäß

T_a\,\psi=\exp{\left(-{\rm i}\,\frac{\hat{p}\, a}{\hbar}\right)}\,\psi\,.

Dabei tritt der Faktor \hbar aus Dimensionsgründen auf, denn das Produkt von Impuls und Ort hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit i ist erforderlich, da Ta eine unitäre Transformation ist und der Impuls selbstadjungiert sein soll. Leitet man die Gleichung

\left(\exp{\left(-{\rm i}\,\frac{\hat{p}_j\, a^j}{\hbar}\right)}\, \psi\right)(x) = \psi(x-a)

nach aj bei a = 0 ab, so ergibt sich der Impulsoperator als Ableitung nach dem Ort,

(\hat{p}_j\,\psi)(x) = \mathrm{i}\, \hbar\,\frac{\partial}{\partial a^j}_{|_{a=0}}
\psi(x-a)= -\mathrm{i}\,\hbar\frac{\partial}{\partial x^j} \psi(x)\,.

Siehe auch


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