Kernoperator

In der Mathematik versteht man unter dem Kern einer Menge eine Teilmenge, die klein genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die größte Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Das wichtigste Beispiel ist der offene Kern bzw. das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums. Kernoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird.

Definitionen

Ein Kernoperator ist eine intensive, monotone, idempotente Abbildung K, die jeder Teilmenge A einer gegebenen Menge X wiederum eine Teilmenge von X, nämlich den Kern K(A), zuordnet. Im Einzelnen bedeuten die Anforderungen:

Intensivität

$K(A) \subseteq A$, das heißt: der Kern von A ist mindestens in der Menge A selbst enthalten.

Monotonie bzw. Isotonie

$A\subseteq B\ \Rightarrow\ K(A)\subseteq K(B)$, das heißt: wenn A Teilmenge von B ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.

Idempotenz

K(K(A)) = K(A), das heißt: bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so wird nichts mehr weggenommen.

Kernsysteme

Definition

Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h. ein Kernsystem auf einer Menge X ist eine aus Teilmengen von X bestehende Menge S mit folgenden Eigenschaften:

• $\emptyset$ ist Element von S.
• Für jede nichtleere Teilmenge T von S ist die Vereinigung der Elemente von T ein Element aus S, oder anders ausgedrückt: Die Vereinigung von beliebig vielen Elementen von S ist selbst ein Element von S.

Wegen

$\bigcup\emptyset = \emptyset$

lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen – gleichwertigen – Bedingung vereinfachen:

• Für jede Teilmenge T von S ist die Vereinigung der Elemente von T ein Element aus S.

Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren

Kernoperatoren und Kernsysteme entsprechen einander:

• Ist S ein Kernsystem auf X, dann kann man einen Kernoperator K_S auf X wie folgt definieren:

$K_S(A) := \bigcup \{ Y \in S \mid Y \subseteq A \}$ für alle $A \subseteq X$.

• Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator K auf X ein Kernsystem S_K auf X gewonnen werden:

$S_K := \{ K(A) | A \subseteq X \}$.

Beispiel

• Die offenen Mengen eines topologischen Raumes bilden ein Kernsystem, nämlich die Topologie des Raumes. Der zugehörige Kernoperator ist die Bildung des Inneren einer Teilmenge.

Literatur

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Siehe auch

Hüllenoperator