Killing-Vektorfeld

Killing-Vektorfeld

Ein Killing-Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing-Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe auch Lie-Gruppe).

Inhaltsverzeichnis

Erklärung

Ein Vektorfeld X ist ein Killing-Vektorfeld, wenn die Lie-Ableitung der Metrik g bezüglich X verschwindet:

\mathcal{L}_X g = 0.\,

Mit Hilfe des Levi-Civita-Zusammenhangs bedeutet dies punktweise

g(\nabla_Y X, Z) + g(Y, \nabla_Z X) = 0

für alle Vektoren Y und Z, beziehungsweise dass \nabla_\bullet X ein bezüglich g schiefer Endomorphismus auf dem Tangentialraum ist.

In lokalen Koordinaten führt dies zur sogenannten Killing-Gleichung

\nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0.

Ein Killing-Feld ist eindeutig bestimmt durch einen Vektor an einem Punkt und seinen kovarianten Gradienten auf der ganzen Raumzeit.

Ein Vektorfeld ist genau dann ein Killing-Vektorfeld, wenn es entlang jeder Geodätischen ein Jacobi-Vektorfeld ist.

Erhaltungsgrößen

Da Killing-Vektorfelder Isometrien generieren, gibt es in der Physik zu jedem Killing-Vektorfeld eine Erhaltungsgröße der entsprechenden Raumzeit. In der allgemeinen Relativitätstheorie sind Killing-Vektorfelder daher von großer Bedeutung zur Charakterisierung von Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen. Die Erhaltungsgröße Q zu einem Killing-Vektorfeld X berechnet sich dabei als

Q = \int \mathrm{d}^3x \sqrt{|g|} T_{0 \mu} X^{\mu}

wobei T der Energie-Impuls-Tensor und |g| der Betrag der Determinante des metrischen Tensors ist. In der Formel wurde die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Beispiele

Genau dann wenn die Koeffizienten gμν der Metrik g in der Basis dx^\mu \otimes dx^\nu unabhängig von einer lokalen Koordinate xk sind, ist X = \frac{\partial}{\partial x^k} ein Killing-Vektorfeld. In eben diesen lokalen Koordinaten lautet es dann X_\mu = \delta_\mu^k, wobei \delta_\mu^k das Kroneckerdelta ist.

Ein Satz unabhängiger Killing-Vektorfelder der Einheitssphäre S2 mit der induzierten Metrik ds2 = dθ2 + sin 2(θ)dϕ2 in Kugelkoordinaten sind:

 K^{(x)} = -z\partial_y + y\partial_z
= -\sin(\phi)\partial_\theta - \cot(\theta)\cos(\phi)\partial_\phi
 K^{(y)} = -x\partial_z + z\partial_x
= \cos(\phi)\partial_\theta - \cot(\theta)\sin(\phi)\partial_\phi
 K^{(z)} = -y\partial_x + x\partial_y
= \partial_\phi

Alle Linearkombinationen dieser Vektorfelder stellen wieder Killing-Vektorfelder dar. Die induzierten Isometrien sind genau die Elemente der SO(3).

Literatur

  • Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley & sons, New York 1972, ISBN 0-471-92567-5.
  • Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem: Introduction to General Relativity. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1975, ISBN 0-07-000423-4 (siehe Kapitel 2 und 9).
  • Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.

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