Kinematik


Kinematik

Die Kinematik (gr.: kinema, Bewegung) ist die Lehre der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch die Größen Weg s (Änderung der Ortskoordinate), Geschwindigkeit v und Beschleunigung a, ohne die Ursachen der Bewegung (Kräfte) zu betrachten.

Ihr Gegenstück ist die Dynamik, die sich mit der Bewegung von Körpern unter Einwirkung von Kräften beschäftigt. Kinematik und Dynamik sind Teilgebiete der Mechanik.

Den Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer geradlinigen Bewegung entsprechen bei einer Drehbewegung die Größen Drehwinkel φ, Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α.

Inhaltsverzeichnis

Grundgleichungen

Die Position eines Punktes wird durch drei Koordinaten (Freiheitsgrade) im dreidimensionalen Raum festgelegt. Bei einem starren Körper genügen drei weitere Freiheitsgrade für die Rotation (Drehungen im dreidimensionalen Raum), um die Bewegung des gesamten Körpers zu beschreiben.

Die Grundgleichungen der Kinematik einer Punktmasse definieren die Geschwindigkeit \vec v(t) und die Beschleunigung \vec a(t) als Ableitungen der Bahnkurve \vec r(t), die der Ortsvektor im Laufe der Zeit t durchläuft:

\dot\vec r (t)=\frac{\mathrm d \vec{r}}{\mathrm d t} =\vec v(t),


\ddot\vec r (t)=\frac{\mathrm d^2 \vec{r}}{\mathrm d t^2}= \vec a(t)\,.

Stoßvorgänge

Die Kinematik von Stoßvorgängen befasst sich mit den Einschränkungen, die sich aus Impuls- und Energieerhaltung für die Bewegung der Stoßpartner ergeben.

Billardspiel

Der elastische Zusammenstoß einer bewegten mit einer ruhenden Kugel beim Billardspiel (ohne Effet-, Zugstöße u.ä.) veranschaulicht die Punktmassen-Kinematik in Verbindung mit dem Impulserhaltungssatz. Haben die beiden Kugeln, wie üblich, gleiche Massen, so sind zwei Extremfälle am einfachsten zu beschreiben:

  • zentraler Stoß: die stoßende Kugel bleibt liegen, die getroffene Kugel übernimmt vollständig deren Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung.
  • streifender Stoß: die stoßende Kugel rollt (fast) unverändert weiter, die getroffene bewegt sich mit der Geschwindigkeit (fast) Null etwa rechtwinklig zur Seite.

In allen anderen, dazwischen liegenden Fällen bewegen sich nach dem Stoß beide Kugeln in zueinander rechtwinkligen Richtungen mit solchen Geschwindigkeiten, dass der gemeinsame Schwerpunkt der Kugeln (der stets auf der Mitte der Verbindungsgeraden der Kugelmittelpunkte liegt) sich geradeaus weiterbewegt. Es kommt nicht vor, dass eine der Kugeln nach dem Stoß "rückwärts" (um mehr als 90 Grad von der Stoßrichtung abweichend) rollt.

Atom-, Kern-, Elementarteilchenphysik

Impuls- und Energieerhaltung bestimmen die Kinematik von Stoßvorgängen auch bei Vorgängen, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden müssen. Beispielsweise ergibt sich daraus bei Streuprozessen, etwa der Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron, wie die Energie des gestreuten Photons mit dem Streuwinkel zusammenhängt.

Besonderheiten

Gegenüber dem klassisch-mechanischen Fall des Billards kommen hier allerdings in manchen Fällen Komplikationen hinzu:

  • Die Teilchen können verschiedene Massen haben. Trifft ein leichteres auf ein schwereres Teilchen, kann es um mehr als 90 Grad abgelenkt, also "zurückgestreut" werden. Die von Ernest Rutherford beobachtete Rückstreuung von Alphateilchen an Atomen war der erste Hinweis auf die Existenz des schweren Atomkerns.
  • Nach dem Stoß können mehr als 2 Teilchen vorhanden sein.
  • Die kinetische Energie des stoßenden Teilchens (Projektils) kann teilweise in andere Formen (Anregungsenergie, Masse neuer Teilchen) umgewandelt werden.
  • Umgekehrt kann zusätzlich zur Projektilenergie weitere Energie in kinetische Form überführt werden (siehe exotherme Reaktion). Dies geschieht insbesondere bei den zur technischen Energiegewinnung dienenden Kernspaltungs- und Kernfusionsreaktionen.
  • Sind die auftretenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, muss mit der relativistischen Energie und dem relativistischen Impuls (siehe Spezielle Relativitätstheorie) gerechnet werden.

Schwerpunkts-Koordinatensystem

Die Beschreibung der kinematischen Verhältnisse wird oft erleichtert durch Wahl eines Koordinatensystems, in dem der gemeinsame Schwerpunkt der Teilchen ruht (Schwerpunktsystem, engl. center-of-mass system, CMS). In diesem System bewegen sich die beiden vor dem Stoß vorhandenen Teilchen um 180 Grad entgegengesetzt aufeinander zu, und bei nur zwei Teilchen nach dem Stoß fliegen diese um 180 Grad auseinander. Der Impuls jedes Teilchens im Laborsystem (in dem sich vor dem Stoß nur das Projektilteilchen bewegt) ist die Vektorsumme aus seinem im Schwerpunktssystem berechneten Impuls und dem Impuls des Schwerpunkts im Laborsystem (Galilei-Transformation). Im relativistischen Fall tritt an die Stelle der Galilei-Transformation die Lorentz-Transformation.

Doppel-Speicherring-Experimente

Kinetische Energie und Impuls eines Körpers sind nicht unabhängig voneinander. Die kinetische Energie, die in der Mitbewegung des Schwerpunkts steckt, steht nicht zur Umwandlung in andere Formen (etwa neue Teilchen) zur Verfügung. Dies ist der Grund, Experimente der Hochenergiephysik an Doppel-Speicherring-Anlagen durchzuführen. Hier ist (bei entgegengesetzt gleichen Impulsvektoren der zusammenstoßenden Teilchen) das Schwerpunktssystem mit dem Laborsystem identisch, so dass die gesamte kinetische Energie beider Teilchen "verbraucht" werden kann.

Siehe auch

Weblinks

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