Kohärente Garbe


Kohärente Garbe

In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es sei X ein geringter Raum, d.h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe \mathcal O_X von Ringen. Dann heißt eine \mathcal O_X-Modulgarbe \mathcal M kohärent, wenn

  1. \mathcal M endlich erzeugt ist, d.h. jeder Punkt x von X hat eine offene Umgebung U, auf der eine Surjektion \mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U} existiert, und
  2. für jede offene Teilmenge U von X und jeden Morphismus \mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U} ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften

0\to\mathcal M'\to\mathcal M\to\mathcal M''\to0
eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
  • Der Träger einer kohärenter Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie

  • Ist X ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
  • Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere A ein noetherscher Ring und X ein eigentliches A-Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als A-Moduln endlich erzeugt.

Kohärente Garben in der komplexen Analysis

  • Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass \mathcal O_X selbst kohärent ist, nicht trivial.
  • Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kohärente Modulgarbe — In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Garbenkohomologie — ist in der Mathematik, hauptsächlich in der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis, eine Technik, mit der man globale Eigenschaften topologischer Räume und auf ihnen definerter Garben studieren kann. Im einfachsten Fall beschreibt… …   Deutsch Wikipedia

  • Kohärent — Kohärenz (lat. cohaerere „zusammenhängen“), Adj. kohärent steht in der Physik für eine Eigenschaft von Wellen bezüglich ihrer Interferenzfähigkeit, siehe Kohärenz (Physik) in der Radartechnik für die Unterscheidung verschiedener Gerätekonzepte,… …   Deutsch Wikipedia

  • Kohärenzfunktion — Kohärenz (lat. cohaerere „zusammenhängen“), Adj. kohärent steht in der Physik für eine Eigenschaft von Wellen bezüglich ihrer Interferenzfähigkeit, siehe Kohärenz (Physik) in der Radartechnik für die Unterscheidung verschiedener Gerätekonzepte,… …   Deutsch Wikipedia

  • Generischer Punkt — Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel aus der… …   Deutsch Wikipedia

  • Henri Paul Cartan — Henri Cartan 1968 Henri Paul Cartan (* 8. Juli 1904 in Nancy; † 13. August 2008 in Paris) war ein bedeutender französischer Mathematiker. Er war Gründungsmitglied von N. Bourbaki. Leben Henri Cartan war der Sohn von Élie Cart …   Deutsch Wikipedia

  • Kohärenz — (lat. cohaerere „zusammenhängen“), Adj. kohärent steht in der Physik für eine Eigenschaft von Wellen bezüglich ihrer Interferenzfähigkeit, siehe Kohärenz (Physik) in der Radartechnik für die Unterscheidung verschiedener Gerätekonzepte, siehe… …   Deutsch Wikipedia