Kritischer Punkt (Mathematik)


Kritischer Punkt (Mathematik)

Eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differenzial nicht surjektiv ist. Andernfalls handelt es sich um einen regulären Punkt. Gibt es einen oder mehrere kritische Punkte im Urbild eines Punktes, nennt man ihn kritischen beziehungsweise stationären Wert, sonst: regulären Wert.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es sei U \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und f : U \rightarrow \mathbb{R}^m eine Funktion. Ein Wert x_0 = x^* \in U heißt kritischer oder stationärer Wert (= Wert eines kritischen respektive stationären Punktes) von f genau dann, wenn \operatorname{D} f(x_0) nicht surjektiv ist, das heißt, wenn \operatorname{rang}(\operatorname{D} f \bigl[x_0]\bigr)< m gilt, wobei \operatorname{D} das totale Differenzial bezeichnet.

Beispiel

  • Die Definition enthält insbesondere den eindimensionalen Spezialfall. Mit \textstyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} werde die Ableitung bezeichnet. Sei f :U \subseteq \R \to \R eine stetig differenzierbare Funktion, so ist x ein kritischer Punkt von f, wenn \textstyle \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} (x) = 0 gilt. Sei nun das Polynom \textstyle p(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 gegeben, durch Ableiten sieht man, dass x = 2 und x = − 3 kritische Punkte sind.
  • Eine stetig differenzierbare reellwertige Abbildung φ in drei Variablen besitzt genau dann einen kritischen Punkt, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \\ \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix} = 0

Eigenschaften

Die Menge der kritischen Punkte einer Funktion kann groß sein, zum Beispiel ist jeder Punkt im Urbild einer konstanten Abbildung kritisch. Per Definition ist auch jeder Punkt kritisch, wenn n < m, selbst im Falle einer Immersion.

Der Satz von Sard besagt hingegen, dass die Menge aller kritischen Werte einer genügend differenzierbaren Abbildung Maß null besitzt; es gibt also „sehr wenige“ kritische Werte. An diesen Stellen schlägt der Satz vom regulären Wert fehl: Das Urbild eines kritischen Wertes ist im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit.

Entartung

Im Falle einer reellwertigen Funktion kann mithilfe der Hesse-Matrix festgestellt werden, ob es sich um einen entarteten kritischen Punkt handelt. Dieses ist genau dann der Fall, wenn die Hesse-Matrix singulär, also nicht invertierbar, ist. Mit Funktionen ohne entartete kritische Punkte beschäftigt sich die Morsetheorie.

Falls keine Entartung vorliegt, kann bei reellwertigen Funktionen auch festgestellt werden, ob es sich um ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt der Funktion handelt.


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kritischer Punkt — Ein kritischer Punkt kann verschiedene Sachverhalte bezeichnen: Zustandspunkt eines Stoffes, ab dem Gas und Flüssigkeit die gleiche Dichte besitzen, siehe Kritischer Punkt (Thermodynamik) bei differenzierbaren Funktionen ein Punkt, an dem das… …   Deutsch Wikipedia

  • Kritischer Wert — Ein kritischer Punkt kann verschiedene Sachverhalte bezeichnen: Zustandspunkt eines Stoffes, ab dem Gas und Flüssigkeit die gleiche Dichte besitzen, siehe Kritischer Punkt (Thermodynamik) bei differenzierbaren Funktionen ein Punkt, an dem das… …   Deutsch Wikipedia

  • Kritischer Rationalismus — Der Kritische Rationalismus ist eine von Karl R. Popper begründete philosophische Denkrichtung. Popper beschreibt ihn als Lebenseinstellung, „die zugibt, dass ich mich irren kann, dass du recht haben kannst und dass wir zusammen vielleicht der… …   Deutsch Wikipedia

  • Kritischer Empirismus — Der Falsifikationismus, auch Kritischer Empirismus, ist die ursprünglich von Karl R. Popper entwickelte Wissenschaftstheorie des Kritischen Rationalismus. Er schlägt mit dem Abgrenzungskriterium der Falsifizierbarkeit und der Methode der… …   Deutsch Wikipedia

  • Fläche (Mathematik) — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses… …   Deutsch Wikipedia

  • Katastrophentheorie (Mathematik) — Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen von bestimmten dynamischen Systemen. Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen… …   Deutsch Wikipedia

  • Stationärer Punkt — Eine stetig differenzierbare Abbildung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in eine andere besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist. Anderenfalls handelt es sich um einen …   Deutsch Wikipedia

  • Singularität (Mathematik) — Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik einen Punkt, an dem ein mathematisches Objekt nicht definiert ist oder an der eine sonst zutreffende Eigenschaft nicht vorhanden ist. Beispiele von Mengen mit singulären Punkten sind: Ein Intervall,… …   Deutsch Wikipedia

  • Fatou-Menge — Die Julia Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia Menge gehört. Oft sind die Julia Mengen fraktale Mengen.… …   Deutsch Wikipedia

  • Julia-Mengen — Die Julia Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia Menge gehört. Oft sind die Julia Mengen fraktale Mengen.… …   Deutsch Wikipedia