Kronecker-Delta


Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise \delta_{ij}\,) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

\delta_{ij} = \begin{cases}
 1 & \text{falls } i = j \\
 0 & \text{falls } i \neq j
\end{cases}

Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Indexmenge I sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

In der digitalen Signalverarbeitung ist für diskrete Signalfolgen auch die Nomenklatur

\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

mit n \in \mathbb{Z} üblich. Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern.[1]

Eigenschaften

Das Kronecker-Delta kann in der Form

\delta=\mathrm{1}_D\colon I\times I\to \{0,1\},

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion 1D der Diagonalmenge D=\{(i,j)\in I\times I \mid i=j\}. Häufig wird dabei an Stelle von {0,1} ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Manchmal ist eine alternative Darstellung in der Form

\delta_{nm} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}

für große N hilfreich.

Zusammenhang mit der Delta-Distribution

Unter bestimmten Bedingungen kann die Delta-Distribution (Dirac-Impuls) in das Kronecker-Delta übergehen, wie beispielsweise in der Signalverarbeitung wenn die Delta-Distribution genau am Abtastpunkt auftritt und durch einen idealen Tiefpassfilter geleitet wird, so entspricht die gebildete Folge dem Kronecker-Delta.

Beispiele

  • Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren e_1, \dots, e_n als \langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij} schreiben.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.

Weblinks


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