Kruskal-Szekeres-Koordinaten


Kruskal-Szekeres-Koordinaten
Kruskal-Diagramm. Jede blaue Hyperbel repräsentiert eine Position bei konstantem Radius.
Kruskal-Diagramm - Animation.

Kruskal-Szekeres-Koordinaten, eingeführt von Martin Kruskal und George Szekeres[1], sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die Metrik, die den Außenraum einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt.

Im Gegensatz zu den hierfür oft verwendeten Schwarzschild-Koordinaten werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten am Ereignishorizont (r = 2M) nicht singulär und werden deswegen gerne für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt.

Das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten lautet (M ist die Masse des Zentralkörpers; die Gravitationskonstante G und die Lichtgeschwindigkeit c sind hier = 1 gesetzt):

ds^2 = (32M^3/r)\,e^{-r/2M}\,(-dv^2 + du^2) +
         r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2).

r ist gleich dem r der Schwarzschild-Koordinaten und ist implizit gegeben durch:

(r/2M-1)\,e^{r/2M} = u^2 - v^2

u und v ergeben sich aus den Schwarzschild-Koordinaten t und r durch:

 u= x\,\cosh(t/4M) ,  v= x\,\sinh(t/4M) wobei  x= \sqrt{ \frac{r}{2M}-1} \, e^{r/4M} für r \ge 2M

 u= x\,\sinh(t/4M) ,  v= x\,\cosh(t/4M) wobei  x= \sqrt{ 1-\frac{r}{2M}} \, e^{r/4M} für r < 2M


Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Von Kruskal Mitte der 1950er Jahre gefunden, aber erst um 1959 durch John Archibald Wheeler bekannt gemacht. Szekeres fand sie 1961. Unabhängig wurden sie auch von Christian Fronsdal 1959 gefunden und von David Finkelstein. Siehe Werner Israel in Hawking, Israel (Herausgeber) 300 years of Gravitation, Cambridge University Press 1987

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