Krylow-Unterraum-Verfahren

Krylow-Unterraum-Verfahren

Krylow-Unterraum-Verfahren sind iterative Verfahren zum Lösen großer, dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme, wie sie bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen entstehen oder von Eigenwertproblemen. Sie sind benannt nach dem russischen Schiffsbauingenieur und Mathematiker Alexei Nikolajewitsch Krylow, der die Krylow-Unterräume definierte. Mit den hier beschriebenen Verfahren hat das von ihm entwickelte Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten des charakteristischen Polynomes nicht mehr viel zu tun. Die Verfahren sind sogenannte Black-Box-Verfahren, die sich durch einfache Implementierung und Robustheit auszeichnen, weshalb sie vielfach verwendet werden. Die Verfahren sind fast alle Projektions-Verfahren.

Inhaltsverzeichnis

Die Verfahrensklasse

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem \mathbf{A}x=b mit der Matrix \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}. Zu einer beliebigen Näherungslösung x0 für x und dem Residuum r_0=b-\mathbf{A}x_0 ist der m-te Krylow-Unterraum {\mathcal K}_m der von den Vektoren r_0, \mathbf{A}r_0, ..., \mathbf{A}^{m-1}r_0 aufgespannte Untervektorraum.

Fast alle Verfahren finden nun eine bessere Näherungslösung x_{m} \in x_{0}+{\mathcal K}_m mit der Bedingung, dass der Vektor b-\mathbf{A} x_{m} orthogonal zu allen Vektoren eines Unterraumes {\mathcal L}_m steht, eine sogenannte Projektion. Diese Bedingung heißt Galerkin-Bedingung.

Damit ist das Problem auf ein m-dimensionales lineares Gleichungssystem reduziert. Das Ganze wird zu einem iterativen Lösungsverfahren, wenn man die Dimension in jedem Schritt um eins erhöht.

Spezielle Lösungsverfahren ergeben sich durch die konkrete Wahl des Raumes {\mathcal L}_m, sowie durch Ausnutzen von speziellen Eigenschaften der Matrix A, was das Verfahren beschleunigt, aber die Anwendbarkeit auch einschränkt. Die einfachste Variante ist, für {\mathcal L}_m einfach wieder den Krylow-Unterraum selbst zu wählen. Das besondere an den Verfahren ist, dass sie nur Matrix-Vektor-Multiplikationen sowie Skalarprodukte benötigen. Ist die Matrix dünnbesetzt, so ist das Matrix-Vektor-Produkt schnell ausrechenbar und der Algorithmus praktikabel.

Ein Beispiel ist das Verfahren der Konjugierten Gradienten (CG-Verfahren). Hierbei ist {\mathcal L}_m={\mathcal K}_m und es ist für symmetrische, positiv definite Matrizen gedacht.

Man erhält so eine Vielfalt an Verfahren. Viel wichtiger als die Auswahl der speziellen Krylow-Unterraummethode ist die Wahl des Vorkonditionierers. Dieser formt das lineare Gleichungssystem äquivalent um, so dass die Lösung unverändert bleibt, sich aber günstigere Eigenschaften für die Konvergenz ergeben. Hier sind entscheidende Geschwindigkeitsgewinne zu erzielen, die dazu führen, dass selbst Systeme mit Millionen Unbekannten in wenigen Dutzend Schritten zufriedenstellend gelöst werden können.

Aufwand

Die Verfahren zeichnen sich dadurch aus, dass nur Matrix-Vektor-Multiplikationen und Skalarprodukte im Ablauf benötigt werden. Die Matrix-Vektor-Multiplikation kostet bei einer dünnbesetzten Matrix mit O(n) Einträgen nur O(n) arithmetische Operationen. Damit liegt der Gesamtaufwand bei m << n Iterationen immer noch bei O(n), allerdings mit einer sehr hohen Konstante. Entsprechend sind Krylow-Unterraum-Verfahren für vollbesetzte Matrizen nicht geeignet und für dünnbesetzte Matrizen erst ab einer gewissen Größe, in etwa einigen zehntausend Unbekannten.

Geschichte

Die ersten Krylow-Unterraumverfahren waren das Lanczos-Verfahren, das 1950 und 1952 von Cornelius Lanczos, das Arnoldi-Verfahren, das 1951 von Walter Edwin Arnoldi, und das CG-Verfahren, das 1952 von Magnus Rudolph Hestenes und Eduard Stiefel veröffentlicht wurde. Die meisten Krylow-Unterraumverfahren sind sogar direkte Löser, die nach spätestens n Schritten bei exakter Arithmetik die exakte Lösung reproduzieren. Allerdings sind die Verfahren als direkte Löser aufgrund Instabilität bei Rundungsfehlern ungeeignet. Der Nutzen als iterativer Löser wurde damals noch nicht erkannt und so verschwanden die Verfahren in der Schublade. Anfang der 1970er wurde der Nutzen des CG-Verfahrens mit Präkonditionierung dann von Reid erkannt und 1971 eine bestechende Fehleranalyse des symmetrischen Lanczos-Verfahrens von Christopher Conway Paige gegeben. Daraufhin entstand eine Vielzahl an neuer, besserer und stabilerer Verfahren wie MinRes, SymmLQ, GMRES und QMR und gänzlich neue Krylow-Unterraumverfahren wie CGS, BiCG, BiCGSTAB und TFQMR wurden entwickelt. Die heutige Klassifizierung der Krylow-Unterraumverfahren nach den Ansätzen QOR und QMR, sowie Verallgemeinerungen vom CG-Verfahren nach den Ansätzen Orthores, Orthomin und Orthodir begannen Ende der 1970er.

Inzwischen gibt es angepasste Krylow-Unterraumverfahren für nichtlineare Eigenwertprobleme, wie den rationalen Krylow von Axel Ruhe und den nichtlinearen Arnoldi von Heinrich Voss. Es existieren auch seit geraumer Zeit Verfahren, welche zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen in der inneren Schleife eines Newton-Verfahrens Krylow-Unterraumverfahren verwenden, subsumiert unter dem Schlagwort Newton-Krylow-Methoden oder bei Erwähnung des Vorkonditionieres beispielsweise Newton-Krylow-Schwarz-Methoden.

Alphabetische Liste gängiger Krylow-Unterraum-Verfahren

  • Arnoldi-Verfahren, zur Eigenwertapproximation
  • BiCG, das CG-Verfahren für nicht SPD-Matrizen
  • BiCGSTAB, Stabilisierung von CGS
  • BiCGSTAB(ell), Stabilisierung von CGS
  • BiCGSTABTFQMR, der Ansatz hinter TFQMR angewandt auf BiCGSTAB
  • BiOres, eine Variante des BiCG-Verfahrens
  • BiOmin, eine Variante des BiCG-Verfahrens
  • BiOdir, eine Variante des BiCG-Verfahrens
  • CG, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • CGNE, CG-Verfahren auf den Normalgleichungen, Variante 1
  • CGNR, CG-Verfahren auf den Normalgleichungen, Variante 2
  • CGS-Verfahren, quadrierte BiCG-Rekursion
  • FOM, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • GMRES, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • Hessenberg-Verfahren, zur Eigenwertapproximation
  • Lanczos-Verfahren, zur Eigenwertapproximation
  • MinRes, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • Orthores, Orthomin und Orthodir, Verallgemeinerungen des CG-Verfahrens
  • Ores, eine Variante des CG-Verfahrens
  • Omin, eine Variante des CG-Verfahrens
  • Odir, eine Variante des CG-Verfahrens
  • Potenzmethode, älteste Methode zur Eigenwertapproximation
  • QMR, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • Richardson-Iteration, bei geeigneter Interpretation
  • SymmLQ, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme
  • TFQMR, zur approximativen Lösung linearer Gleichungssysteme

Literatur

  • A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3-528-13135-7
  • Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics 2003, ISBN 0-89871-534-2

Weblinks


Wikimedia Foundation.

См. также в других словарях:

  • Krylow-Unterraum — Ein Krylowraum ist ein Untervektorraum des komplexen Spaltenvektorraums , der zu einer quadratischen Matrix , einem Spaltenvektor , dem Startvektor der Krylow Sequenz und einem Index m als lineare Hülle iterierter Matrix Vektor Produkte definiert …   Deutsch Wikipedia

  • Krylov-Unterraum-Verfahren — Krylow Unterraum Verfahren sind iterative Verfahren zum Lösen großer, dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme, wie sie bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen entstehen oder von Eigenwertproblemen. Sie sind benannt nach… …   Deutsch Wikipedia

  • Verfahren der konjugierten Gradienten — Ein Vergleich des einfachen Gradientenverfahren mit optimaler Schrittlänge (in grün) mit dem CG Verfahren (in rot) für die Minimierung der quadratischen Form eines gegebenen linearen Gleichungssystems. CG konvergiert nach 2 Schritten, die Größe… …   Deutsch Wikipedia

  • Krylow-Raum — Ein Krylowraum ist ein Untervektorraum des komplexen Spaltenvektorraums , der zu einer quadratischen Matrix , einem Spaltenvektor , dem Startvektor der Krylow Sequenz und einem Index m als lineare Hülle iterierter Matrix Vektor Produkte definiert …   Deutsch Wikipedia

  • Krylow-Zerlegung — In der numerischen Mathematik ist eine Krylow Zerlegung (nach Alexei Nikolajewitsch Krylow) eine Matrixgleichung der folgenden Gestalt: wobei eine quadratische Matrix ist, als Spalten die Basisvektoren eines Krylowraumes enthält und eine (im… …   Deutsch Wikipedia

  • Numerische Verfahren — Die Liste numerischer Verfahren führt Verfahren der numerischen Mathematik nach Anwendungsgebieten auf. Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme 2 Nichtlineare Gleichungssysteme 3 Numerische Integration 4 Approximation und Interpolation …   Deutsch Wikipedia

  • GMRES-Verfahren — Das GMRES Verfahren (für Generalized minimal residual method) ist ein iteratives numerisches Verfahren zur Lösung großer, dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme. Das Verfahren ist aus der Klasse der Krylow Unterraum Verfahren und insbesondere… …   Deutsch Wikipedia

  • CG-Verfahren — Ein Vergleich des einfachen Gradientenverfahren mit optimaler Schrittlänge (in grün) mit dem CG Verfahren (in rot) für die Minimierung der quadratischen Form eines gegebenen linearen Gleichungssystems. CG konvergiert nach 2 Schritten, die Größe… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste numerischer Verfahren — Die Liste numerischer Verfahren führt Verfahren der numerischen Mathematik nach Anwendungsgebieten auf. Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme 2 Nichtlineare Gleichungssysteme 3 Numerische Integration …   Deutsch Wikipedia

  • Nikolaj Krylow — Nikolai Mitrofanowitsch Krylow (russisch Николай Митрофанович Крылов, wiss. Transliteration Nikolaj Mitrofanovič Krylov; * 17.jul./ 29. November 1879greg. in Sankt Petersburg; † 11. Mai 1955 in Moskau) war ein russisch sowjetischer Mathematiker.… …   Deutsch Wikipedia


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»