Kürzen

Kürzen

Kürzen ist in der Mathematik ein Verfahren zur Vereinfachung von Brüchen. Dabei werden Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs dividiert durch einen gemeinsamen Faktor (ungleich 0). Der Wert des Bruchs bleibt beim Kürzen unverändert. Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns, also der Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich 0).

Mathematische Formulierung

Allgemein: Sind a, b und c ganze Zahlen, wobei b \ne 0 und c \ne 0 vorausgesetzt wird, dann gilt

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}

Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch (ac) / (bc) mit c gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch a / b mit c erweitert.

Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Bei größeren Zahlen ist es jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann.

Beispiele

\frac{6}{8} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} \; = \;\frac{3}{4}
\frac{200}{8800} \; = \; \frac{1 \cdot 200}{44 \cdot 200} \; = \;\frac{1}{44}

Die Beispiele zeigen, dass das Kürzen von Brüchen meist eine sehr sinnvolle Sache ist, weil sich dadurch erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit den Brüchen deutlich erleichtert.

Verallgemeinerung

Geht man von den rationalen Zahlen weg und betrachtet andere Strukturen, dann erkennt man, dass die Möglichkeit, Brüche zu kürzen, eine direkte Konsequenz der Art und Weise ist, wie Brüche definiert werden. Man kann somit z. B. in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen. Lokalisiert man einen Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S, dann kann man einen Bruch aus RS nur mit Elementen von S kürzen und erweitern.


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Синонимы:

См. также в других словарях:

  • kürzen — kürzen …   Deutsch Wörterbuch

  • Kürzen — Kürzen, verb. reg. act. kürzer machen, abkürzen, verkürzen, welche Wörter üblicher sind. Die Furcht vor einem frühen Tode, die ihn quält, wird ihm das Leben kürzen. Grausame, kürze doch die schnellen Stunden nicht, Cron. Der Erden Ziel zu kürzen …   Grammatisch-kritisches Wörterbuch der Hochdeutschen Mundart

  • kürzen — V. (Mittelstufe) etw. kürzer machen Beispiele: Die Hose muss gekürzt werden. Sie hat sich beim Friseur das Haar kürzen lassen …   Extremes Deutsch

  • kurzeń — {{/stl 13}}{{stl 8}}rz. mnż III, D. kurzeńenia; lm D. kurzeńeni || kurzeńniów {{/stl 8}}{{stl 20}} {{/stl 20}}{{stl 12}}1. {{/stl 12}}{{stl 7}} w dawnych wiekach: wiejska zagroda, szałas na Ukrainie {{/stl 7}}{{stl 20}} {{/stl 20}}{{stl 12}}2.… …   Langenscheidt Polski wyjaśnień

  • Kürzen — kannst du das Leben dein, verlängern kann es Gott allein …   Deutsches Sprichwörter-Lexikon

  • kürzen — zurückstutzen; stutzen; beschneiden; zurechtstutzen; sensen; abmähen; schneiden; absicheln; mähen; sicheln; dämpfen; schmälern; …   Universal-Lexikon

  • Kurzen — Kurzschluss; Kurzer (umgangssprachlich) * * * kür|zen [ kʏrts̮n̩] <tr.; hat: 1. kürzer machen: einen Rock [um einige Zentimeter] kürzen; die Schnur muss noch etwas gekürzt werden. Syn.: ↑ abschneiden, ↑ beschneiden …   Universal-Lexikon

  • kürzen — kụ̈r·zen; kürzte, hat gekürzt; [Vt] 1 etwas kürzen etwas kürzer (1) machen, besonders indem man etwas davon abschneidet ↔ verlängern <Ärmel, einen Rock, einen Mantel kürzen> 2 (jemandem) etwas kürzen jemandem von etwas, das er regelmäßig… …   Langenscheidt Großwörterbuch Deutsch als Fremdsprache

  • kürzen — kurz: Das Adjektiv (mhd., ahd. kurz) ist in frühdeutscher Zeit vor der Lautverschiebung aus lat. curtus »verkürzt, gestutzt, verstümmelt« entlehnt, das im Sinne von »abgeschnitten« zu der idg. Wortgruppe von 1↑ scheren gehört. – Abl.: Kürze (mhd …   Das Herkunftswörterbuch

  • kürzen — 1. abschneiden, anschneiden, kappen, kuppen, kürzer machen, scheren, schneiden, stutzen, verkürzen; (Fachspr.): kupieren; (Gartenbau): zurückschneiden. 2. abbauen, Abstriche machen, begrenzen, beschneiden, beschränken, drosseln, drücken,… …   Das Wörterbuch der Synonyme


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