Lineare Interpolation

In der numerischen Mathematik bezeichnet der Begriff Interpolation eine Klasse von Problemen und Verfahren. Zu gegebenen diskreten Daten (z. B. Messwerten) soll eine kontinuierliche Funktion (die sogenannte Interpolante oder Interpolierende) gefunden werden, die diese Daten abbildet. Man sagt dann, die Funktion interpoliert die Daten.

Einführung

Zu interpolierende Punkte

Manchmal sind von einer Funktion nur einzelne Punkte bekannt, aber keine analytische Beschreibung der Funktion, um sie an beliebigen Stellen auswerten zu können. Ein Beispiel sind Punkte als Resultat einer physikalischen Messung. Könnte man die Punkte durch eine (eventuell glatte) Kurve verbinden, so wäre es möglich, die unbekannte Funktion an den dazwischenliegenden Stellen zu schätzen. In anderen Fällen will man eine schwierig handhabbare Funktion näherungsweise durch eine einfachere darstellen. Eine Interpolationsfunktion kann diese Anforderung der Einfachheit erfüllen.

Diese Aufgabe bezeichnet man als Interpolationsproblem. Es gibt für das Problem mehrere Lösungen, der Anwender muss zunächst geeignete Ansatzfunktionen wählen. Je nach Ansatzfunktionen erhalten wir eine andere Interpolante.

Die Interpolation ist eine Art der Approximation: die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden Zusatzinformationen über die Funktion f benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von f meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich häufig voraussetzen.

Bei anderen Approximationsverfahren wie z. B. der Ausgleichungsrechnung wird nicht gefordert, dass die Messdaten exakt wiedergegeben werden; das unterscheidet diese Verfahren von der Interpolation.

Bei dem verwandten Problem der Extrapolation werden Werte geschätzt, die über den Definitionsbereich der Daten hinausgehen.

Interpolationsprobleme

Das allgemeine Interpolationsproblem

Gegeben seien n + 1 Paare von reellen oder komplexen Zahlen $(x_i,\,f_i)$. Hierbei bezeichnet man analog zum Rechnen mit Funktionen die x_i als Stützstellen, die f_i als Stützwerte und die (x_i,f_i) Paare als Stützpunkte. Man wählt nun eine Ansatzfunktion $\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n)$, die sowohl von x als auch von n + 1 weiteren Parametern a_j abhängt. Als Interpolationsproblem bezeichnet man die Aufgabe, die a_j so zu wählen, dass $\Phi(x_i,\,a_0,\ldots,a_n) = f_i$ ist.

Das lineare Interpolationsproblem

Man spricht von einem linearen Interpolationsproblem, wenn Φ nur linear von den a_j abhängt, d. h.

$\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 \Phi_1(x) + a_2 \Phi_2(x) +\cdots+a_n \Phi_n(x)$.

Insbesondere die Polynominterpolation ist ein solches lineares Interpolationsproblem. Für die Polynominterpolation gilt

$\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n$.

Spezialfälle für n = 1, n = 2 und n = 3 nennt man lineare, quadratische und kubische Interpolation. In zwei Dimensionen spricht man entsprechend von bilinear, biquadratisch und bikubisch.

Des Weiteren ist die trigonometrische Interpolation eine lineare Interpolation:

$\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 e^{xi} + a_2 e^{2xi} +\cdots+a_n e^{nxi}, \quad(i^2=-1)$

Nichtlineare Interpolationsprobleme

Zu den wichtigsten nichtlinearen Interpolationsproblemen zählt

• das rationale: $\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n,\,b_0,\ldots,b_m) = {{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n}\over{b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + \cdots + b_m x^m}}$

Interpolationsverfahren

Lineare Interpolation

Stückweise durchgeführte lineare Interpolation

Die von Isaac Newton begründete lineare Interpolation ist am einfachsten und wird wohl in der Praxis am häufigsten benutzt. Hier werden zwei gegebene Datenpunkte f₀ und f₁ durch eine Strecke verbunden. Es gilt:

$f(x) = f_0 + {{f_1-f_0}\over{x_1-x_0}}\,(x-x_0)$. Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte $(x_0, \,f_0)$ und $(x_1,\,f_1)$.

Detaillierte Erläuterungen siehe Allgemeine lineare Interpolation

Höhergradige Polynome

Interpolationspolynom 7. Grades

Zu n + 1 paarweise verschiedenen Datenpunkten gibt es genau ein Interpolationspolynom n-ten Grades, das an den vorgegebenen Stützstellen mit den vorgebenen Stützwerten übereinstimmt. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Existenz eines solchen Interpolationspolynoms sieht man z. B. mit Hilfe der Formel von Lagrange

$p(x)=\sum_{i=0}^{n}\,f_i\prod_{k=0,k\neq i}^n{{x-x_k} \over {x_i-x_k}}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus der bekannten Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen besitzt.

Weitere Verfahren zur Polynominterpolation siehe dort.

Stückweise Interpolation

Kubische Spline-Interpolation

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden (d. h. sie schwingen stark zwischen den Interpolationspunkten), werden in der Praxis Polynome mit Grad > 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen großen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Stützstellen von großer Bedeutung.

Hermite-Interpolation

Sind zusätzlich zu den Stützstellen x_i auch noch die k-Ableitungen $f^{(k)}(x_i) = f^{(k)}_i$ zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Trigonometrische Interpolation

Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrische Interpolation. Die Interpolationsformel

$g(x) = {1\over 2} a_0+\sum_{k=1}^{N-1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)+{1\over 2}a_N\cos Nx\,,\quad N=n/2$

entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten a_k und b_k berechnen sich zu

$a_k\approx {2\over n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\cos kx_i$ und $b_k\approx {2\over n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\sin kx_i$.

Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen x_i im Intervall $[0;\,2\pi]$ äquidistant verteilt sowie außerhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.

Logarithmische Interpolation

Vermutet bzw. weiß man, dass den Daten eine logarithmische Funktion zugrunde liegt, so empfiehlt sich dieses Verfahren.

Bei der logarithmischen Interpolation werden zwei bekannte Datenpunkte f₀(x₀) und f₁(x₁) durch eine logarithmische Kurve verbunden. Es gilt:

$\frac{ \ln f- \ln f_0}{ \ln f_1- \ln f_0} = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

Oder anders formuliert:

$f(x) = f_0 \cdot \exp \left\lbrace \frac{(x-x_0)( \ln f_1- \ln f_0)}{x_1-x_0} \right\rbrace$

Beispiel: χ²-Test

Allgemeine lineare Interpolation

Es sei H(x) eine reelle oder komplexe stetig differenzierbare Funktion mit Nullstellenmenge $\{ x_k: k\, \mathrm{aus}\, I\}$, wobei alle Nullstellen einfach sein müssen. Dabei kann die Indexmenge I eine endliche Menge, wie z. B. $I= \{1,\dots,N\}$, oder eine abzählbare Menge, wie $I= \mathbb{N}$ oder $I= \mathbb{Z}$, sein. Damit sind die Interpolationskerne gegeben als

$L_k(x):=\frac{H(x)}{H'(x_k)(x-x_k)}=\frac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)}$ bei $x \neq x_k$

und stetig mit dem Wert 1 an der Stelle x = x_k fortgesetzt. Die Hilfsfunktion G(x,y) ist außerhalb der Diagonalen x = y definiert als

$G(x,y):=\frac{H(x)-H(y)}{x-y}$ und stetig fortgesetzt zu G(x,x): = H'(x).

Nun sieht man leicht, dass auf den Nullstellen L_k(x_j) = δ_k,j gilt, wobei das Kronecker-Delta verwendet wurde.

Sind jetzt Werte f_k für jedes $k \isin I$ vorgegeben, so ist eine Interpolationsfunktion definiert durch

$F(x):=\sum_{k\in I}f_k\cdot L_k(x)=\sum_{k\in I}\frac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)}f_k$.

Im Falle einer abzählbaren Nullstellenmenge muss die Konvergenzbedingung

$\sum_{k\in I}\left|\frac{f_k}{H'(x_k)(1+|x_k|)}\right|<\infty$

erfüllt sein.

Beispiele:

• Mit vorgegebenen Stützstellen $\{x_1,\dots,x_N\}$ und einer reellen Funktion h mit h(0) = 0 , $h'(0)\neq 0$ kann die Funktion $H(x):=h(x-x_1) \dots h(x-x_N)$ gebildet werden. Dann erhält man

$L_k(x)=\frac{h(x-x_k)}{h'(0)(x-x_k)}\cdot\prod_{j\ne k}\frac{h(x-x_j)}{h(x_k-x_j)}$.

Das aus h(x) = x resultierende Interpolationsverfahren ist die Lagrange-Interpolation. Andere Beispiele sind h(x) = x / (1 + x²) für nach Unendlich gegen Null fallende Interpolationsfunktionen oder h(x) = sin(x) für eine beschränkte Interpolationsfunktion mit übersichtlicher Berechnungsformel.

• Mit dem Kreisteilungspolynom H(x): = x^N − 1, d. h. den N-ten Einheitswurzeln $x_k:=\exp(i2\pi\,k/N)$, $k=1,\dots,N$, als Stützstellen, ergibt sich die Diskrete Fourier-Transformation als Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms. Es gilt $L_N(x)=\frac1N(1+x+\dots+x^{N-1})$ und allgemein $L_k(x)=L_N(\bar x_k\,x)$, so dass

$F(x)=\sum_{n=0}^{N-1}x^n\cdot\frac1N\sum_{k=1}^N f_k\bar x_k^n$ ist.

• Mit H(x): = sin(πx) und den Nullstellen x_k = k, $k \isin \mathbb{Z}$, ergibt sich als Interpolationsfunktion die Kardinalreihe

$F(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}f_k\frac{\sin(\pi x)}{(-1)^+k\pi(x-k)} =\sum_{k\in\mathbb Z}f_k\frac{\sin(\pi (x-k))}{\pi(x-k)}$.

Diese spielt eine zentrale Rolle im Nyquist-Shannon-Abtasttheorem. Die Konvergenzbedingung lautet

$\sum_{k\in\mathbb Z}\left|\frac{f_k}{1+|k|}\right|<\infty$.

Stützstellendarstellung von Polynomen

Sei p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_{n − 1}x^{n − 1} ein Polynom. Dieses Polynom lässt sich in der sogenannten Koeffizientendarstellung durch die Angabe des Vektors (a₀,...,a_{n − 1}) darstellen. Eine alternative Darstellung, die ohne die Koeffizienten a₀,...,a_{n − 1} auskommt, besteht in der Stützstellendarstellung. Dabei wird das Polynom für n Werte x_i mit $0 \le i \le n-1$ und $i \in \mathbb{N}$ ausgewertet, d. h. es werden die Funktionswerte p(x_i) = y_i berechnet. Das Paar von Vektoren ((x₀,...,x_{n − 1}),(y₀,...,y_{n − 1})) bezeichnet man als die Stützstellendarstellung des Polynoms p. Ein wesentlicher Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass zwei Polynome in Stützstellendarstellung in Θ(n) Schritten multipliziert werden können. In Koeffizientendarstellung werden hingegen Θ(n²) Schritte benötigt. Die Transformation von der Koeffizienten- in die Stützstellendarstellung ist daher von spezieller Bedeutung und wird als Fourier-Transformation bezeichnet. Die Rücktransformation wird durch Interpolation erreicht.

Anwendungen

In vielen Anwendungen von Interpolationsverfahren wird behauptet, dass durch Interpolation neue Daten aus bestehenden Daten hinzugewonnen werden. Dies ist aber falsch. Durch Interpolation kann nur der Verlauf einer kontinuierlichen Funktion zwischen bekannten Abtastpunkten abgeschätzt werden. Diese Abschätzung basiert meist auf der Annahme, dass der Verlauf einigermaßen „glatt“ ist, was in den meisten Fällen zu plausiblen Resultaten führt. Die Annahme muss aber nicht notwendigerweise zutreffen. Höhere Frequenzanteile, die bei der Digitalisierung eines Signals aufgrund des Abtasttheorems verloren gegangen sind, können auch durch anschließende Interpolation nicht wieder rekonstruiert werden.

Interpolation einer Linie

In der Bildbearbeitung verwendet man Interpolationsverfahren, um gerasterte Bilder so zu skalieren dass das Bild ansehnlich bleibt (Bildinterpolation). In gängigen Bildbearbeitungssystemen wird häufig die bilineare oder bikubische Interpolation verwendet. Die Interpolationsverfahren sind meist in Form digitaler Filter implementiert (Gauß-Filter, Lanczos-Filter).

Ausgangsbild (4x4 Pixel groß)	Skalierung auf 25600 % mittels Nutzung des nächsten Nachbars	Skalierung auf 25600 % mittels bilinearer Interpolation	Skalierung auf 25600 % mittels bikubischer Interpolation
Skalierung auf 25600 % mittels Lanczos-3-Interpolation

Literatur

• Josef Stoer: Numerische Mathematik 1, 8. Auflage, Springer 1999
• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung, 4. Auflage, Springer 1997
• Oppenheim, Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, Oldenbourg 1992
• Crochiere, Rabiner: Multirate Digital Signal Processing, Prentice Hall 1983

Weblinks

• Seite zur Interpolation mit Java-Applet (ganz unten – Start Button)
• Seite zu Newton, Lagrange und Cubic Spline ebenfalls mit Java-Applet
• Applet mit Interpolationspolynom und Spline