Liouville-Theorem

Liouville-Theorem

Der Satz von Liouville (auch "Liouville-Theorem" genannt, nach Joseph Liouville) ist eine direkte Folge aus der Liouville-Gleichung und besagt, dass das von benachbarten Trajektorien im Phasenraum eingeschlossene (mehrdimensionale) Volumen konstant ist. Der Satz gilt für konservative Systeme, die im Hamilton-Formalismus beschrieben werden können und aus unabhängigen Teilchen mit gleicher Hamilton-Funktion bestehen. Er gilt deshalb beispielsweise nicht für Isotopen-Gemische, aber für jedes Isotop separat.

Das bedeutet, dass für frei fliegende gleiche Teilchen (auch für Lichtteilchen, also Photonen gleicher Wellenlänge) die Dichte im Ortsraum nur erhöht werden kann, wenn gleichzeitig die Dichte im Impulsraum verringert wird, wenn also die Geschwindigkeiten (nach Richtung oder Betrag) in einem größeren Bereich liegen. Mit "Ortsraum" ist dabei unser "gewöhnlicher" dreidimensionaler Raum gemeint; Impulsraum ist ein mathematischer Raum, dessen Koordinaten die Vektorkomponenten des Impulses sind.

Wenn ein Strahl annähernd parallel fliegender Teilchen (kleine Impulsunschärfe quer zur Bewegungsrichtung) auf einen kleineren Durchmesser fokussiert wird, wird die Dichte im Ortsraum erhöht. Es muss daher die Dichte im Impulsraum verringert werden, die Teilchen müssen also stärker unterschiedliche Impulse (Geschwindigkeiten quer zur Strahlrichtung) erhalten. Es können daher die Teilchenbahnen also nicht mehr so genau parallel bleiben.

Der Satz von Liouville begrenzt, wie stark ein Teilchen- oder Lichtstrahl fokussiert werden kann, ohne Teilchen (bzw. Licht) zu verlieren. Beispielsweise kann ein Laserstrahl mit 1 mm2 Strahlquerschnitt, in dem alle Photonen nahezu denselben Impuls quer zur Strahlrichtung haben (also "parallel fliegen"), auf einen viel kleineren Durchmesser fokussiert werden als das Licht einer kleinen Glühlampe, deren Glühfaden eine Fläche von etwa 1 mm2 hat. Grund dafür ist, dass das Licht der Glühbirne in alle Richtungen emittiert wird, also der Impuls der Photonen sehr unterschiedlich ist (großes Volumen im Impulsraum, das nicht mehr vergrößert werden kann).

Anmerkung: Ein so einfacher Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit, wie hier angenommen wurde, ist nur gültig, wenn keine Magnetfelder zu berücksichtigen sind.

Eine weitere Folgerung aus dem Satz von Liouville ist die Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Liouville's theorem (Hamiltonian) — In physics, Liouville s theorem, named after the French mathematician Joseph Liouville, is a key theorem in classical statistical and Hamiltonian mechanics. It asserts that the phase space distribution function is constant along the trajectories… …   Wikipedia

  • Liouville-Gleichung — Die Liouville Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch… …   Deutsch Wikipedia

  • Liouville's theorem — has various meanings, all mathematical results named after Joseph Liouville:*In complex analysis, see Liouville s theorem (complex analysis). *In conformal mappings, see Liouville s theorem (conformal mappings). *In Hamiltonian mechanics, see… …   Wikipedia

  • Liouville-Gleichung —   [lju vil ; nach J. Liouville], partielle Differenzialgleichung der statistischen Mechanik für die Verteilungsfunktion f(N) (r1,. .., rN; pN …   Universal-Lexikon

  • Liouville's theorem (complex analysis) — In complex analysis, Liouville s theorem, named after Joseph Liouville, states that every bounded entire function must be constant. That is, every holomorphic function f for which there exists a positive number M such that | f ( z )| ≤ M for all… …   Wikipedia

  • Liouville number — In number theory, a Liouville number is a real number x with the property that, for every positive integer n, there exist integers p and q with q > 1 and such that A Liouville number can thus be approximated quite closely by a sequence of… …   Wikipedia

  • Liouville's theorem (conformal mappings) — In mathematics, Liouville s theorem is a theorem about conformal mappings in Euclidean space. It states that any conformal mapping on a domain of R n , where n > 2, can be expressed as a composition of translations, similarities, orthogonal… …   Wikipedia

  • Liouville, Joseph — ▪ French mathematician born March 24, 1809, Saint Omer, France died September 8, 1882, Paris       French mathematician known for his work in analysis, differential geometry, and number theory and for his discovery of transcendental numbers i.e …   Universalium

  • liouville's theorem — (ˈ)lyü|vēlz noun Usage: usually capitalized L Etymology: after Joseph Liouville died 1882 French mathematician : a theorem in fluid dynamics: the density of any selected part of a stream of fluid that does no work and that has no work done on it… …   Useful english dictionary

  • Liouville dynamical system — In classical mechanics, a Liouville dynamical system is an exactly soluble dynamical system in which the kinetic energy T and potential energy V can be expressed in terms of the s generalized coordinates q as followscite journal | last =… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”