Liste von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt unzählige Möglichkeiten, wie eine Zufallsvariable verteilt sein kann. Hier soll ein Überblick über die bekanntesten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben werden.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilung ist durch die Verteilungsfunktion oder Dichtefunktion vollständig festgelegt. In der Tabelle wird die Verteilungsfunktion als F(x) = P({X < x}) definiert. Häufig wird die Verteilungsfunktion auch als $F(x) = P(\{X \leq x\})$ definiert. Für die "kleiner-gleich"-Definition ergeben sich Unterschiede insbesondere bei den diskreten Verteilungen; beispielsweise ist in den Summationsgrenzen die Aufrundungsfunktion $\lceil x-1 \rceil$ durch die Abrundungsfunktion $\lfloor x \rfloor$ zu ersetzen.

Diskrete Verteilungen

Bezeichnung	Kurzzeichen Vtlg. von X	Verteilungsfunktion F(x) = P({X < x})	Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P({X = x})
Binomialverteilung	Bn,p	$\sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil}{n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}$	${n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}$
Negative Binomialverteilung	NBn,p	$\sum_{i=n}^{\lceil x-1 \rceil}{i-1 \choose n-1}p^n (1-p)^{i-n}$	${i-1 \choose n-1}p^n (1-p)^{i-n}$
Geometrische Verteilung (Variante B)	Gp	$\sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil}p (1-p)^{i} = 1 - (1-p)^{\lceil x \rceil}$	$p\, (1-p)^{i}\,$
Hypergeometrische Verteilung	HM,N,n	$\sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lceil x-1 \rceil} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }$	$\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }$
Poisson-Verteilung	Pα	$\sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil} e^{-\alpha} \frac {\alpha^i}{i!}$	$e^{-\alpha} \frac {\alpha^i}{i!}$
Diskrete Gleichverteilung	DLn	$\frac{|\{i:x_i &amp;lt; x\}|}{n}$	$\begin{cases} \frac {1}{n} &amp;amp; \ \mathrm{f\ddot{u}r}\ x = x_i (i = 1,\dots, n) \\ 0 &amp;amp; \mbox{ sonst} \end{cases}$

Stetige Verteilungen

Bezeichnung	Kurzzeichen Vtlg. von X	Verteilungsfunktion F(x) = P({X < x})	Dichtefunktion
Gleichverteilung	La,b	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le a \\ \frac {x-a}{b-a} &amp;amp; \mbox{ wenn } a &amp;lt; x \le b \\ 1 &amp;amp; \mbox{ wenn } x &amp;gt; b \end{cases}$	$\begin{cases} \frac {1}{b-a} &amp;amp; \mbox{ wenn } a &amp;lt; x \le b \\ 0 &amp;amp; \mbox{ sonst } \end{cases}$
Exponentialverteilung	Eα	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ 1-e^{-\alpha x} &amp;amp; \mbox{ wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ \alpha \, e^{-\alpha x} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$
Erlang-Verteilung	Eα,n	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ 1-e^{-\alpha x} \lbrack 1 + \frac{(\alpha x)}{1!} + \frac{(\alpha x)^2}{2!} +. .. + \frac{(\alpha x)^{n-1}}{(n-1)!} \rbrack &amp;amp; \mbox{ wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ {\alpha^n \over (n-1)!} x^{n-1} e^{-\alpha x} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$
Normalverteilung	$N_{\mu,\sigma^2}$	$\frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t$	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
Logarithmische Normalverteilung	$LN_{\mu,\sigma^2}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{x} \,\frac{1}{t}\, e^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\operatorname{ln}\,t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\frac{1}{x}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{ln}\,x-\mu}{\sigma}\right)^2} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$
Weibull-Verteilung	Wμ,σ,λ	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le \mu \\ 1 - e^{- \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^\lambda} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; \mu \end{cases}$
Chi-Quadrat-Verteilung	Ck	$\frac{1}{2\,\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} \,\cdot\,\int_{0}^{x} \,e^{-\frac{t}{2}}\,\cdot\,{\left(\frac{t}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1} \mathrm{d}t = 1 - \frac{\Gamma \left(\frac{k}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}.$	$\frac{e^{-\frac{x}{2}}\,\cdot\,{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1}}{2\,\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} \quad \mbox { wenn } 0 &amp;lt; x &amp;lt;\infty$
Students t-Verteilung	Tk	$\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\int_{-\infty}^{x} \,\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})} \mathrm{d}t$	$\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})}$
Fisher-Verteilung	Fm,n	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{(\frac{m}{2}-1)}\,\cdot\,\left(1+\frac{m}{n}\,\cdot\,t\right)^{(-\frac{m+n}{2})} \mathrm{d}t &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\,\cdot\,x^{(\frac{m}{2}-1)}\,\cdot\,\left(1+\frac{m}{n}\,\cdot\,x\right)^{(-\frac{m+n}{2})} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$
Gammaverteilung	Gb,p	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{p-1}e^{-bt} \mathrm{d}t &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$	$\begin{cases} 0 &amp;amp; \mbox { wenn } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} &amp;amp; \mbox { wenn } x &amp;gt; 0 \end{cases}$

Erwartungswert, Varianz

Die für jede Verteilung charakteristischen Parameter Erwartungswert und Varianz ergeben sich aus der Dichtefunktion der jeweiligen Verteilung. Näheres zur anschaulichen Bedeutung und Herleitung in den entsprechenden Artikeln. Nachfolgend eine Auflistung dieser Größen, soweit berechenbar, für diskrete und stetige Verteilungen.

Diskrete Verteilungen

Verteilung	P(X = k)	Erwartungswert	Varianz
Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)	$\begin{cases}p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ X = 1\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ X=0\end{cases}$	p	p(1 − p)
Binomialverteilung	${n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$	np	np(1 − p)
- negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)	${{k-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{k-r}$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$
Geometrische Verteilung
- Variante A	p(1 − p)k − 1 für $k \in {1,2,3,...}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}$
- Variante B	p(1 − p)kfür $k \in \N$	$\frac{1-p}{p}$	$\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}$
Diskrete Gleichverteilung	$\begin{cases} \frac {1}{n} & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k = k_i (i = 1,. .., n) \\ 0 & \mathrm{sonst}\end{cases}$	$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$	$\frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i\right)^2\right)$
Diskrete Gleichverteilung auf $\{1,\dots,n\}$	$\begin{cases} \frac {1}{n} & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k \in\{1,\dots,n\} \\ 0 & \mathrm{sonst}\end{cases}$	$\frac{n+1}{2}$	$\frac {n^2-1}{12}$
Hypergeometrische Verteilung	$\frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}}$	$n \frac{M}{N}$	$n \frac{M}{N} \left(1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}$
Logarithmische Verteilung	$\frac{p^{k}}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}$	$\frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)}$	$\frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}$
Multinomialverteilung (Polynomialverteilung)
Panjer-Verteilung	$P(X=k-1) \cdot \max \{ 0, a + \frac{b}{k} \}; k \ge 1$	$\frac{a+b}{1-a}$	$\frac{a+b}{(1-a)^2}$
Poisson-Verteilung	$\frac{\lambda^k}{k!}\; e^{-\lambda}$	λ	λ
- Gemischte Poisson-Verteilung
- Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
Zipf-Verteilung (Zeta-Verteilung)	$\frac{x^{-s}}{\zeta(s)}$

Stetige Verteilungen

Verteilung	Kurzzeichen Vtlg. von X	Erwartungswert	Varianz
Gleichverteilung	La,b	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Exponentialverteilung	Eα	$\frac{1}{\alpha}$	$\frac{1}{\alpha^2}$
Erlang-Verteilung	Eα,n	$\frac{n}{\alpha}$	$\frac{n}{\alpha^2}$
Normalverteilung	$N_{\mu,\sigma^2}$	μ	σ2
Logarithmische Normalverteilung	$LN_{\mu,\sigma^2}$	exp(μ + σ2 / 2)	$\exp(2\mu+\sigma^2)\cdot(\exp(\sigma^2)-1)$
Weibull Verteilung	Wμ,σ,λ	$\mu+\sigma\cdot\Gamma(1+1/\lambda)$	$\sigma^2\cdot[\Gamma(1+2/\lambda)-(\Gamma(1+1/\lambda))^2]$
Chi-Quadrat Verteilung	Ck	k	2k
Studentverteilung	Tk	0 (für k>1)	$\frac{k}{k-2}$ (für k>2)
Fisherverteilung	Fm,n	$\frac{n}{n-2}$ (für n>2)	$\frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}$ (für n>4)
Gammaverteilung	Gb,p	$\frac{p}{b}$	$\frac{p}{b^2}$

Beziehungen zwischen den Verteilungen

Beschreibung	Merkhilfe *)
Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Parameter 1.	$N_{0,1}^2 = C_1$
Die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariabler ist wieder Chi-Quadrat-verteilt.	Ck + Cl = Ck + l
Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariabler ist wieder normalverteilt.	$N_{\mu_1,\sigma_1^2} + N_{\mu_2,\sigma_2^2} = N_{\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
Die Summe unabhängiger poissonverteilter Zufallsvariabler ist wieder poissonverteilt.	Pα + Pβ = Pα + β
Die Summe unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder binomialverteilt.	Bm,p + Bn,p = Bm + n,p
Die Summe unabhängiger negativbinomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder negativbinomialverteilt.	NBm,p + NBn,p = NBm + n,p
Die Summe unabhängiger erlangverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter α ist wieder erlangverteilt.	Eα,m + Eα,n = Eα,m + n
Die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter b ist wieder gammaverteilt.	Gb,p1 + Gb,p2 = Gb,(p1 + p2)
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Exponentialverteilung.	Eα,1 = Eα
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Chi-Quadrat Verteilung.	$E_{\frac{1}{2},n} = C_{2n}$
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Gammaverteilung. (Für ganzzahligen zweiten Parameter stimmt die Gammaverteilung mit der Erlangverteilung überein.)	Eα,n = Gα,n
Zusammenhang zwischen Weibull Verteilung und Exponentialverteilung.	$W_{0,\sigma,1} = E_\frac{1}{\sigma}$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X standardnormalverteilt und Y Ck-verteilt, dann ist $\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}$ Tk-verteilt.	$\frac{N_{0,1}}{\sqrt{\frac{C_k}{k}}} = T_k$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X Cm-verteilt und Y Cn-verteilt, dann ist $\frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}$ Fm,n-verteilt.	$\frac{\frac{C_m}{m}}{\frac{C_n}{n}} = F_{m,n}$
Der Logarithmus einer logarithmischnormalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt.	$\ln (LN_{\mu,\sigma^2}) = N_{\mu,\sigma^2}$
Ist Z negativbinomialverteilt mit Parameter 1 und p, so ist Z-1 geometrisch verteilt mit Parameter p.	NB1,p − 1 = Gp

*) In der Merkhilfe steht zum Beispiel C_k nicht für die Chi-Quadrat Verteilung, sondern für eine Zufallsvariable in Chi-Quadrat Verteilung. Der Unterschied liegt darin, dass etwa die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen (sie wird als Faltung der Verteilungen bezeichnet) üblicherweise mit zum Beispiel C_k * C_l (C_k,C_l Verteilungen) angeschrieben wird anstatt wie hier mit C_k + C_l (C_k,C_l Zufallsvariable). Der Vorteil der Schreibweise C_k * C_l (C_k,C_l Verteilungen) liegt darin, dass sie schon andeutet, welche Operation auf die Verteilungsfunktionen anzuwenden ist, um die Verteilung der Summe zu erhalten. Der Vorteil der Schreibweise C_k + C_l (C_k,C_l Zufallsvariable) liegt darin, dass sie angibt, welche Operation ursprünglich auf die Zufallsvariable gewirkt hat.

Das Zeichen „=“ steht für „hat gleiche Verteilung wie“.

Diejenigen Zufallsvariablen, die auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, seien stets vollständig unabhängig voneinander.

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Aus den oben angeführten Regeln folgt zum Beispiel (in „Merkhilfe“-Notation): $N_{0,1}^2 + N_{0,1}^2 = C_1 + C_1 = C_2 = E_{\frac{1}{2},1} = E_{\frac{1}{2}}$. Man beachte, dass dabei die erste Zufallsvariable $N_{0,1}\,$ von der zweiten Zufallsvariablen $N_{0,1}\,$ unabhängig sein muss. Wenn man stattdessen beide Male dieselbe Zufallsvariable verwendet, wenn man also $2 \cdot N_{0,1}^2$ berechnet, ist das Ergebnis ein anderes!

Weblinks

Interaktive Verteilungsveranschaulichungen