Logisches Oder

Technische Realisierung einer Adjunktion: Wenn mindestens einer der Taster E1 und E2 betätigt wird, leuchtet die Lampe.

Disjunktion („Oder-Verknüpfung“, von lat. disiungere „trennen, unterscheiden, nicht vermengen“), Alternative und Adjunktion (von lat. adiungere, „anfügen, verbinden“) sind in der Logik die Bezeichnungen für zwei Typen von Aussagen, bei denen je zwei Aussagesätze durch ein nicht ausschließendes oder durch ein ausschließendes oder verbunden sind:

1. Die nicht ausschließende Disjunktion (Alternative, Adjunktion) „A oder B (oder beides)“ sagt aus, dass mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Sie ist also nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind.
2. Die ausschließende Disjunktion (Kontravalenz, exklusives Oder, XOR) „(entweder) A oder B (aber nicht beides)“ sagt aus, dass genau eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Die ausschließende Disjunktion ist daher falsch, wenn entweder beide beteiligten Aussagen falsch oder wenn beide beteiligten Aussagen wahr sind. Die ausschließende Disjunktion wird auch Kontravalenz genannt und unter diesem Stichwort näher behandelt.
3. Nur gelegentlich wird auch die nicht ausschließende Disjunktion der Verneinungen der beteiligten Aussagen als Disjunktion von A und von B bezeichnet, das heißt die Aussage „nicht A oder nicht B (oder beides)“ beziehungsweise äquivalent „nicht (A und B)“; üblich ist für diese Verknüpfung die Bezeichnung NAND oder Sheffer-Operator.^[1]

Die Teilaussagen einer Disjunktion beziehungsweise einer Adjunktion werden Disjunkte beziehungsweise Adjunkte, das die Teilaussagen verknüpfende Wort („oder“) wird Disjunktor beziehungsweise Adjunktor genannt. Seltener gebrauchte Bezeichnungen für die Disjunktion lauten Kontrajunktion, Bisubtraktion und Alternation. Umgangssprachlich spricht man auch davon, zwei Aussagen zu verodern (engl. oring), wenn man sie disjunktiv verknüpft.

Die nicht ausschließende Disjunktion

Die nicht ausschließende Disjunktion (Alternative, Adjunktion) ist eine zusammengesetzte Aussage vom Typ „A oder B (oder beides)“; sie sagt aus, dass mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist.

Schreibweise

$a \or b$

In der polnischen Notation wird für die Disjunktion der Großbuchstabe A verwendet:

Aab

Eine Möglichkeit, um sich die Symbole für Disjunktion und Konjunktion zu merken und voneinander zu unterscheiden: Das nichtausschließende Oder, A ∨ B, erinnert an den Buchstaben „v“; das lateinische Wort für das nichtausschließende Oder lautet „vel“, fängt also mit „v“ an.

Die Wahrheitstabelle der nicht ausschließenden Disjunktion ist damit folgende:

a	b	$a \or b$
wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch

Eine Disjunktion ist ein Boolescher Ausdruck, sie ist assoziativ und kommutativ.

Aus dem Gesagten folgt:

• Ist A falsch und ist B falsch, so ist die Disjunktion falsch; in jedem anderen Fall ist sie wahr.
• Ist die Disjunktion falsch, so ist sowohl A als auch B falsch.
• Ist die Disjunktion wahr, muss eine der folgenden Möglichkeiten vorliegen:
  1. beide Disjunkte sind wahr
  2. A ist falsch und B ist wahr oder
  3. A ist wahr und B ist falsch

Beispiel

Die Aussage „Napoleon reist über Berlin nach Moskau, oder Napoleon reist über Rom nach Moskau“ besteht aus folgenden Teilen:

• der Teilaussage/dem Disjunkt A: „Napoleon reist über Berlin nach Moskau.“
• dem Disjunktor „oder“
• der Teilaussage/dem Disjunkt B: „Napoleon reist über Rom nach Moskau.“

Keine der beiden Teilaussagen schließt eine andere aus: Napoleon könnte über Berlin nach Moskau fahren, er könnte über Rom nach Moskau fahren, und er könnte jede beliebige andere Route wählen, die über mindestens eine dieser beiden Städte führt – ja sogar jede Route, die über beide Städte führe.

Die ausschließende Disjunktion

Hauptartikel: Kontravalenz

Die ausschließende Disjunktion (Kontravalenz, XOR) ist eine zusammengesetzte Aussage, bei der zwei Aussagen mit der Formulierung „entweder – oder (aber nicht beides)“ verknüpft werden, zum Beispiel die Aussage „Anna studiert entweder Französisch oder sie studiert Spanisch (aber nicht beides).“ Im Unterschied zur nicht ausschließenden Disjunktion ist der Fall, dass beide Teilaussagen wahr sind – im Beispiel also der Fall, dass Anna sowohl Französisch als auch Spanisch studiert –, ausgeschlossen.

Die Wahrheitstabelle der ausschließenden Disjunktion ist damit folgende:

a	b	$a ~ \dot\or ~ b$
wahr	wahr	falsch
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch

Quellen

1. ↑ Kuno Lorenz: „Disjunktion“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 1. Stuttgart: Metzler 1995, ISBN 3-476-02012-6, Seite 491

Siehe auch

• De Morgansche Regel
• Oder-Gatter, XOR-Gatter, XNOR-Gatter
• Aussagenlogik

Weblinks

• Ray Jennings: „Disjunction“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)