Lokal konstante Funktion


Lokal konstante Funktion

In der Mathematik heißt eine Funktion f: T \to M von einem topologischen Raum T in eine Menge M lokal konstant, wenn für jedes x \in T eine Umgebung U von x existiert, auf der f konstant ist.

Eigenschaften

  • Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
  • Jede lokal konstante Funktion von  \mathbb R in eine beliebige Menge M ist konstant, da  \mathbb R zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
  • Jede lokal konstante holomorphe Funktion f: M \to \mathbb C von einer offenen Menge M in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn M ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
  • Eine Abbildung f: T \to D von einem topologischen Raum T in einen diskreten Raum D ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
  • Jede Abbildung f: D \to T von einem diskreten Raum D in einen beliebigen topologischen Raum T ist lokal konstant.
  • Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

  • Die Funktion f: \mathbb Q \to \mathbb Q, definiert durch f(x) = 0 für x < π und f(x) = 1 für x > π ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass π irrational ist, da so {x | x < π} und {x | x > π} offene Mengen sind, die  \mathbb Q überdecken.)
  • Die Funktion g: \R \setminus\{0\} \to \R, definiert durch g(x) = 0 für x < 0 und g(x) = 1 für x > 0, ist ebenso lokal konstant.
  • Die Signum-Funktion ist nicht lokal konstant.
  • Treppenfunktionen sind nicht lokal sondern stückweise konstant

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