Lokal konvex


Lokal konvex


Lokalkonvexer Vektorraum

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Die lokale Konvexität ist eine Eigenschaft eines topologischen Vektorraumes. Ein lokal konvexer Raum kann als eine Verallgemeinerung eines normierten Vektorraumes bzw. eines normierbaren Vektorraumes betrachtet werden. Lokalkonvexe Räume werden in der Funktionalanalysis untersucht.

Inhaltsverzeichnis

Geometrische Definition

Ein topologischer Vektorraum V heißt lokal konvex, wenn jede Nullumgebung U eine offene Teilmenge T enthält mit den folgenden drei Eigenschaften:

Eine Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes heißt absorbierend, wenn es zu jedem Vektor x in V eine echt positive reelle Zahl r gibt, so dass rx ein Element von T ist.

Eine Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes heißt ausgewogen, wenn zu jedem Vektor x in T und jeder Zahl r mit |r|<1 der Vektor rx ebenfalls in T liegt. (Die Strecke von -x nach x liegt in T.) Aufgrund der geometrischen Bedeutung dieser Definition werden solche Mengen manchmal auch kreisförmig genannt.

Eine ausgewogene und konvexe Menge heißt absolutkonvexe Menge.

Es stellt sich heraus, dass die zweite und dritte Bedingung in gewisser Weise überflüssig sind. Es gibt genau dann eine Nullumgebungsbasis aus konvexen, absorbierenden und ausgewogenen Mengen, wenn es eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen gibt. (Diese beiden Umgebungsbasen müssen natürlich nicht übereinstimmen, aber die Existenz der einen impliziert die Existenz der anderen)

Definition durch Halbnormen

Lokalkonvexe Räume lassen sich auch durch Halbnormen-Systeme charakterisieren: Ein topologischer Vektorraum V heißt lokal konvex, wenn seine Topologie durch eine Familie \mathcal{P} von Halbnormen definiert ist. Die Kugeln bezüglich der Halbnormen B_p(x,\varepsilon)=\left\{y \in V \,:\, p(x-y) &amp;amp;lt; \varepsilon \right\},\quad x \in V,\, \varepsilon &amp;amp;gt; 0,\, p \in \mathcal{P} bilden dabei eine Subbasis der Topologie.

Beispiele

  1. Direkte Limites von Banachräumen wie  \mathcal{C}(\mathbb{R}) mit der Familie der Halbnormen  p_k(f)= \max_{x \in [-k,k]} |f(x)|.
  2. Alle topologischen Vektorräume mit der schwachen Topologie.
  3. Alle Banachräume sind lokal konvex, wobei die Familie \mathcal{P} nur die (echte) Norm enthält.
  4. Banachräume mit schwacher Topologie sowie Dualräume von Banachräumen mit der schwach-*-Topologie sind lokal konvex, wobei die Familie \mathcal{P} hier durch die Funktionale aus dem Dual- respektive Prädualraum mittels  p_y\left(x\right)=|y(x)| (y ist das Funktional) erzeugt werden.
  5. Projektive Limites von Banachräumen sind lokal konvex. Die Familie \mathcal{P} ist durch die Normen der Banachräume, deren Limes gebildet wird, gegeben. Konkretes Beispiel: \mathcal{C}^\infty([0,1]) mit der Familie der Normen p_k(f)= \sum_{i\leq k} \max_{x \in [0,1]} |f^{(i)}(x)|. Obwohl die Familie aus echten Normen besteht, ist der Raum kein Banachraum!
  6. Der Raum L^p\left([0,1]\right) (siehe Lp-Raum) ist für 0 < p < 1 ein topologischer (sogar metrisierbarer) Vektorraum, der nicht lokalkonvex ist.

Eigenschaften

Erfüllt die Halbnormenmenge aus obiger Definition \{x\in V:p(x)=0\; \forall \, p \in \mathcal{P}\}=\{0\}, so ist der Raum ein Hausdorff-Raum. Viele Autoren betrachten nur Hausdorff'sche lokalkonvexe Räume.

Hausdorffsche, lokal konvexe Räume haben genügend viele stetige, lineare Funktionale, um Punkte zu trennen, d.h. für alle x,y\in V, x \not= y gibt es ein stetiges, lineares Funktional f mit f(x) \not= f(y). Das zeigt sich in der Gültigkeit wichtiger Sätze wie

Die stetigen, linearen Funktionale auf einem topologischen Vektorraum V trennen genau dann die Punkte, wenn es eine gröbere Topologie auf V gibt, die V zu einem hausdorffschen, lokalkonvexen Raum macht. Die Untersuchung lokalkonvexer Räume mittels stetiger, linearer Funktionale führt zu einer sehr weitreichenden Theorie, die für allgemeine topologische Vektorräume so nicht möglich ist. Es gibt topologische Vektorräume, die außer dem Nullfunktional kein weiteres stetiges, lineares Funktional besitzen.

Verallgemeinerungen

Spezielle lokalkonvexe Räume

Beziehungen der Raumklassen untereinander, ein Pfeil führt von der spezielleren zur allgemeineren Raumklasse.

Viele Klassen lokalkonvexer Räume zeichnen sich durch die Gültigkeit bestimmter Sätze, die aus der Theorie der Banachräume oder normierten Räume bekannt sind, aus. So sind z.B. die tonnelierten Räume genau diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus noch gilt. Diese Sätze können in den entsprechenden Raumklassen in 'Reinkultur' untersucht werden, ihre Tragweite wird deutlich. Die bekanntesten dieser Raumklassen sind:

Räume differenzierbarer oder holomorpher Funktionen tragen natürliche lokalkonvexe Topologien, deren Eigenschaften zu weiteren Raumklassen Anlass geben. Die wichtigsten dieser Raumklassen, die zu einem tieferen Verständnis der lokalkonvexen Theorie führen, sind etwa

Literatur

  • G. Köthe, Topological Vector Spaces I (2.te Auflage), Springer, 1983, ISBN 3-540-04509-0
  • G. Köthe, Topological Vector Spaces II, Springer, 1979, ISBN 3-540-90400-X
  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Lokal konvexer Raum — Lokalkonvexer Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis ist Spezialfall von …   Deutsch Wikipedia

  • Lokalkonvex — Lokalkonvexer Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis ist Spezialfall von …   Deutsch Wikipedia

  • Banach-Steinhaus — Der Satz von Banach Steinhaus oder das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets …   Deutsch Wikipedia

  • Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit — Der Satz von Banach Steinhaus oder das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets …   Deutsch Wikipedia

  • Fast sichere Konvergenz — In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem… …   Deutsch Wikipedia

  • Konvergenz im p-ten Mittel — In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem… …   Deutsch Wikipedia

  • Konvergenz in Verteilung — In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem… …   Deutsch Wikipedia

  • Stochastische Konvergenz — In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem… …   Deutsch Wikipedia

  • Verteilungskonvergenz — In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem… …   Deutsch Wikipedia

  • Frechet-Raum — Ein Fréchet Raum (nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet) ist ein topologischer Vektorraum (Funktionalanalysis) mit speziellen Eigenschaften. Fréchet Räume können als eine Verallgemeinerung von Banach Räumen angesehen werden.… …   Deutsch Wikipedia