Lokaler Körper

Ein lokaler Körper ist ein Körper, der ein vollständiger metrischer Raum bezüglich einer diskreten Bewertung ist und einen endlichen Restklassenkörper besitzt. Lokale Körper treten in der algebraischen Zahlentheorie als Vervollständigungen von globalen Körpern auf. Äquivalent zur Endlichkeit des Restklassenkörpers ist, dass der Körper lokal kompakt ist.

Ein lokaler Körper der Charakteristik 0 ist stets eine algebraische Erweiterung von $\mathbb{Q}_p$ (p-adische Zahlen) für eine Primzahl p.

Charakterisierung

Die lokalen Körper sind gerade die endlichen Erweiterungen von $\mathbb{Q}_p$ und $\mathbb{F}_p((t))$.

Verallgemeinerungen

Es gibt eine Verallgemeinerung der lokalen Körper durch die sogenannten höheren lokalen Körper. Für $n\in\mathbb{N}$ ist ein n-lokaler Körper ein Körper, der vollständig bezüglich einer diskreten Bewertung ist, und dessen Restklassenkörper ein (n-1)-lokaler Körper ist. Die 1-lokalen Körper sind dabei die gewöhnlichen lokalen Körper. Zum Beispiel sind $\mathbb{Q}_p((t))$ oder $\mathbb{F}_p((t_1))((t_2))$ 2-lokale Körper.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Local Fields. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.