Lösen von Verhältnisgleichungen

Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri [von französisch Règle de tri, von lateinisch regula de tribus], manchmal auch Schlussrechnung, im österreichischen Sprachgebrauch nur Schlussrechung bzw. kurz Schlüsse) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

Einfacher Dreisatz

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, umso mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, ...) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, ...).
• Gegeben ist ein Verhältnis von a Einheiten einer Größe A zu b Einheiten einer Größe B.
• Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu c Einheiten von A stehen.

In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:

Größe A	Größe B
a	b
c	x

Inhaltliches Lösen

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

1. a Einheiten von A entsprechen b Einheiten von B.
2. Einer Einheit von A entsprechen b / a Einheiten von B.
3. c Einheiten von A entsprechen also $x = c\cdot b /a$ Einheiten von B.

In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.

Größe A	Größe B	Rechne:
a	b	durch a
1	b / a	mal c
c	$c \cdot b / a$

Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (siehe Beispiel 1).

Hintergrund

Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und erscheinen bereits in Euklids Elementen^[1]. Die Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als regula de tri in den Rechenbüchern von Adam Ries^[2] angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt her von den drei gegebenen, in die Rechnung eingesetzten (in altem Deutsch: „gesatzten“) Größen. Heutige deutschsprachige Schulbücher deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine Verhältnisgleichung

a : b = c : x.

Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung $x = c\cdot b/a$ (Beispiel 2a).

Erweiterungen

Umgekehrter Dreisatz

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim Halbieren (Dritteln, ...) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, ...).
• Dabei ergeben a Einheiten einer Größe A mit b Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
• Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der Größe B, die mit c Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: $a \cdot b = c \cdot x$.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:

Rechne:	Größe A	Größe B	Rechne:
durch a	a	b	mal a
mal c	1	$a \cdot b$	durch c
	c	$a \cdot b / c$

Verallgemeinerter Dreisatz

Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein (vgl. Beispiel 3).

Ausgehend von $a_0\cdot b_0\cdot c_0\ \hat{=}\ d_0$ kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems $a_1\cdot b_1\cdot c_1\ \hat{=}\ x$ bestimmen. Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von a₀ zu a₁ über, dann von b₀ zu b₁ und schließlich von c₀ zu c₁). Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:

1. $a_0\cdot b_0\cdot c_0\ \hat{=}\ d_0$
2. $1\ \hat{=}\ \frac{d_0}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}$
3. $x\ \hat{=}\ \frac{d_0\cdot a_1\cdot b_1\cdot c_1}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}$

Beispiele

Beispiel 1

In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden? Also gilt:

3 zu 240 verhält sich wie 7 zu "x"

Rechnung in Tabellenform:

	Zeit in h	Strecke in km	Rechne:
1.	3	240	:3
2.	1	80	·7
3.	7	560

Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit.

Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz)

Diese Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (ein Arbeitstag). Im zweiten Beispiel beziehen sich andererseits die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (eine bestimmte Menge Abraum).

a) 21 Lastwagen transportieren 35 Tonnen Abraum an einem Arbeitstag. Wie viel Tonnen Abraum schaffen in derselben Zeit 15 Lastwagen?

• 21 LKW $\hat=$ 35 Tonnen
• 15 LKW $\hat=$ x Tonnen
• x = 15*35/21 = 25, also 25 Tonnen.

b) 21 Lastwagen benötigen 35 Tage für den Abtransport einer bestimmten Menge Abraum. Wie viel Zeit benötigen hierfür 15 Lastwagen?

• 21 LKW $\hat=$ 35 Tage
• 15 LKW $\hat=$ x Tage
• x = 35*21/15 = 49, also 49 Tage.

Beispiel 3 (verallgemeinerter Dreisatz)

2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wieviel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

1. 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
2. 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
3. 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras

unter der Annahme, dass die Kühe über die ganze Zeit gleichmäßig fressen.

Weblinks

• Gothaer Hefte: Dreisatz
• Übungsaufgaben zum Dreisatz
• Pädagogisches Institut der deutschen Sprachgruppe Bozen

Einzelnachweise

1. ↑ Euklid: Die Elemente. II. Teil. Buch V und VI. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Clemens Thaer (Hrsg). Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, 1933.
2. ↑ Adam Ries(e): Rechnung auf Linien und Federn... anno 1532. 114. Auflage, Magistrat der Stadt Erfurt, 1991, Pag. Biii.