Markov Chain Monte Carlo

Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren (kurz MCMC-Verfahren; seltener auch Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren) sind eine Klasse von Algorithmen, die Stichproben aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen ziehen. Dies geschieht auf der Basis der Konstruktion einer Markow-Kette, welche die erwünschte Verteilung als ihre stationäre Verteilung aufweist. Der Zustand der Kette nach einer großen Zahl von Schritten wird dann als Stichprobe der erwünschten Verteilung benutzt. Die Qualität der Stichprobe steigt mit zunehmender Zahl der Schritte.

MCMC-Verfahren erzeugen Systeme im kanonischen Zustand. Eine ausreichende, aber nicht nötige, Bedingung, dass ein MCMC-Verfahren den kanonischen Zustand als stationäre Verteilung aufweist, ist die Detailed Balance-Eigenschaft.

Üblicherweise gelingt es leicht, eine Markow-Kette mit den erwünschten Eigenschaften zu konstruieren. Das schwierigere Problem ist es, zu ermitteln, wie viele Schritte nötig sind, um Konvergenz zur stationären Verteilung mit akzeptablem Fehler zu erreichen bzw. den Algorithmus so zu gestalten, dass möglichst effektiv, unabhängige Systemzustände generiert werden. Eine gute Kette mit einer gut gewählten Anfangsverteilung wird schnell konvergieren, d.h. die stationäre Verteilung wird schnell erreicht. Bei typischer Anwendung von MCMC-Verfahren kann die Zielverteilung nur näherungsweise erreicht werden, da es immer einen gewissen Resteffekt der Anfangsverteilung gibt.

Häufige Anwendungen dieser Algorithmen findet sich bei der numerischen Berechnung mehrdimensionaler Integrale. Diese finden sich oft im Rahmen der Bayesianischen Statistik sowie rechnerischen Anwendungen in der Physik (beispielsweise der Statistischen Physik oder Pfadintegrale in der Quantenfeldtheorie) und der Biologie.

Algorithmen

Beispiele für Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren sind:

• Metropolisalgorithmus: Das lokale Verfahren erzeugt Zufallsbewegungen, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit akzeptiert oder zurückgewiesen werden. Es ist einfach zu implementieren, hat jedoch den Nachteil einer hohen Autokorrelation der erzeugten Systemzustände.
• Gibbs-Sampling (auch Wärmebadalgorithmus genannt): Das lokale Verfahren ist ein Sonderfall des Metropolis-Hastings-Algorithmus, bei der die Zustände entsprechend der lokalen Wahrscheinlichkeitsverteilung erzeugt werden.
• Hybrid-Monte-Carlo-Algorithmus: Das Verfahren stellt eine Kombination aus Molekulardynamik und Zufallsbewegung her. Die Molekulardynamik wird benutzt, um effizient neue, unabhängige Zustände zu erzeugen, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit akzeptiert oder zurückgewiesen werden.
• Clusteralgorithmen: Hierbei handelt es sich um spezielle, nicht-lokale Verfahren, die die Autokorrelationzeiten und damit das so genannte Critical Slowing down, vermeiden. Sie wurden erstmal von Swendsen und Wang für das Potts-Modell eingeführt. Allerdings sind nur wenige Systeme bekannt,für welche das Verfahren implementiert werden konnte.
• Over-Relaxation-Verfahren

Literatur

• Jeff Gill: Bayesian methods: a social and behavioral sciences approach. Second Edition, Chapman and Hall/CRC, London 2008, ISBN 978-1-58488-562-7.
• N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller und E. Teller: Equation of State Calculations by Fast Computing Machines. In: Journal of Chemical Physics. 21, 1953, S. 1087-1092 (doi:10.1063/1.1699114). 
• W.K. Hastings: Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications. In: Biometrika. 57, 1970, S. 97-109. 
• R.H. Swendsen, J.-S. Wang: Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations. In: Phys. Rev. Lett.. 58, 1987, S. 86. 
• S.L. Adler: Overrelaxation method for Monte Carlo evaluation of the partition function for multiquadratic actions. In: Phys. Rev. D. 23, 1988, S. 2901.