Mathematischer Raum


Mathematischer Raum

Als Raum wird in der Mathematik eine mit einer Struktur versehene Menge bezeichnet. Eine in allen Gebieten der Mathematik zutreffende Definition hat das Wort „Raum“ selbst nicht erfahren. In vielen mathematischen Teilgebieten hat das Wort aber eine jeweils eigene Bedeutung (s. unten), die jeweils einzelne Aspekte unseres Anschauungsraums verallgemeinern

Dieser Anschauungsraum ist gekennzeichnet durch die drei Dimensionen (Richtungen)

  • rechts ↔ links
  • oben ↔ unten
  • vorne ↔ hinten.

Mathematisch präzisiert wird dieser Raum unserer alltäglichen Erfahrung als der dreidimensionale euklidische Raum.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Wort Alltagsbedeutung Präzisierung im dreidimensionalen Raum Verallgemeinerung(en)
Umgebung „Bereich um einen Ort“ Punkte des Raums, die weniger als eine bestimmte Strecke vom Ausgangspunkt entfernt sind Umgebung (Mathematik)
senkrecht „In der Richtung des Senkens, abwärts“ in einem Winkel von 90°, (lineare Algebra:) Skalarprodukt (von zwei Vektoren) ist 0 abstrakte Vektoren, deren Skalarprodukt verschwindet, dann Teilräume, deren Vektoren in dieser Beziehung zueinander stehen.
strebt gegen Ein Spaziergänger versucht ein Ziel zu erreichen Eine Folge von Punkten wird abgeschritten, dabei „drängt“ man auf einen Zielpunkt zu Eine Folge in einem metrischen Raum strebt gegen ihren Grenzwert, allgemeiner: Ein Netz strebt (auf einer gerichteten Menge) gegen einen Limespunkt

Dieser Vorgang der Wortschöpfung kann beim Verständnis mathematischer Texte hilfreich sein.

„Anschauung beweist nichts“

Die ursprüngliche Meinung, dass sich grundlegende Tatsachen (Axiome) durch anschauliche Richtigkeit (Evidenz, „Offensichtlichkeit“ im Raum) absichern oder beweisen ließen, wird heute in der Mathematik verworfen.

Verlässt man sich zu sehr auf seine Anschauung und auf seinen "gesunden Menschenverstand", wird man kein objektives Ergebnis erhalten können, da unsere Empfindung der Welt auf subjektiven und vor allem kulturell beeinflussten Erfahrungen und Denkgewohnheiten beruht.

Raumbegriffe in mathematischen Teilgebieten

Verwandte Begriffe

Siehe auch


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