Mathematisches Pendel


Mathematisches Pendel
Animation einer Pendelschwingung

Ein mathematisches Pendel ist eine Idealisierung des realen Pendels. Es ist ein grundlegendes Modell zum Verständnis von Pendelschwingungen.

Mathematische Pendel sind durch zwei wesentliche Eigenschaften charakterisiert:

  • Es herrscht keine Reibung in irgendeiner Form, also weder Strömungswiderstand noch innere Reibung in Faden oder Aufhängepunkt.
  • Die gesamte Masse des Pendels ist in einem einzigen Punkt konzentriert. Der Faden wird als masselos betrachtet, die Massenverteilung des Pendelkörpers wird durch ihren Massenmittelpunkt dargestellt.

In der Praxis kann man ein mathematisches Pendel dadurch annähern, dass man einen möglichst langen und dünnen Faden und einen möglichst kleinen und schweren Pendelkörper verwendet. Da die maximale Auslenkung in dieser Konfiguration nur nach einer langen Beobachtungszeit zurückgeht, herrscht ein weitgehend reibungsfreier Zustand.

Bei kleiner Auslenkung hängt die Frequenz der Pendelschwingung ausschließlich von der Länge des Pendels und der Fallbeschleunigung ab. Größere Auslenkungswinkel beeinflussen aber zunehmend die Pendelfrequenz.

Anders als man zunächst vermuten könnte, spielt die Masse des Pendels keine Rolle.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Beschreibung

Rückstellkraft am Fadenpendel: |\vec F_\mathrm{tan}| = F_\mathrm{R}

Anhand der Kräfte wird im folgenden die Bewegungsgleichung der Pendelschwingung ermittelt.

Aufgrund der Schwerkraft (g = Ortsfaktor) ergibt sich bei Auslenkung eines Fadenpendels der Masse m eine Kraft FR(t), die tangential zur kreisförmigen Pendelbahn wirkt. Diese Rückstellkraft steigt mit dem Auslenkungswinkel φ bezüglich der Ruhelage.

F_\mathrm{R}(t) =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)

Beim Betrachten eines schwingenden Fadenpendels zeigt sich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Auslenkung abnimmt und nach Erreichen des Scheitelpunkts die Richtung wechselt. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt, genauer gesagt findet eine Tangentialbeschleunigung statt, da eine kreisförmige Bewegungsbahn vorliegt. Dabei setzt das 2. Newtonsche Gesetz eine der Beschleunigung proportionale Kraft voraus.

F_\mathrm{a}(t) = m \cdot a_\mathrm{tan}(t)

Durch den Zusammenhang aus Tangentialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung lässt sich die erforderliche Beschleunigungskraft auf eine Zeitgleichung des Auslenkungswinkels überführen.

a_\mathrm{tan}(t)= l \cdot \ddot{\varphi}(t)
F_\mathrm{a}(t) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)

Da bei der ungestörten Schwingung die Rückstellkraft des Pendels die einzige aktive Kraft darstellt, können die beiden Kraftgleichungen gleichgesetzt werden. Woraus nach Umstellen und Kürzen eine nichtlineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung entsteht.

Fa(t) = FR(t)
- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)
0 = \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) + \ddot{\varphi}(t)

Für kleine Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung:

\sin (\varphi) \approx \varphi.

Durch Substitution ergibt sich somit eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung, deren allgemeine Lösung zur Schwingungsgleichung führt.

0 = \frac{g}{l} \cdot \varphi(t) + \ddot{\varphi}(t)
\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t + \varphi_0 \right)

Hierbei bezeichnen \hat \varphi die Winkelamplitude und φ0 den Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0. Darüber hinaus sind die Eigenkreisfrequenz ω0 und die zugehörige Periodendauer T ersichtlich.

\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}
T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Alternativ lässt sich die Periodendauer, ohne den Proportionalitätsfaktor , auch mit dem Buckinghamschen Π-Theorem herleiten.

Exakte Lösung

Maximaler Auslenkungswinkel und der relative Fehler der Näherungsformel

Da Pendel in der Realität immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich nichtlinear. Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Integrale. Damit lässt sich die allgemeine Lösung in eine Reihe entwickeln:

T(\varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \cdot \sin^4\left(\frac{\varphi}{2}\right) + ...\right)

Alternativ lässt sich das auftretende elliptische Integral auch über das arithmetisch-geometrische Mittel M auswerten:

T(\varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\frac{1}{M(1,\cos\frac{\varphi}{2})}

Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als Null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Literatur

  • Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3540429646.

Siehe auch

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • mathematisches Pendel — matematinė švytuoklė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mathematical pendulum; simple pendulum vok. mathematisches Pendel, n rus. математический маятник, m; простой маятник, m pranc. pendule mathématique, m; pendule simple, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Pendel [1] — Pendel. Man unterscheidet einfaches und zusammengesetztes Pendel. Ein einfaches Pendel ist, im rein mathematischen Sinne genommen, ein schwerer Punkt, der gezwungen ist, auf einer gegebenen Kurve sich zu bewegen. So ist ein schwerer Punkt, der… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Pendel — Foucaultsches Pendel Ein Pendel (früher auch Perpendikel [1], von lat. pendere „hängen“) besteht aus einer Masse am Ende eines Seiles oder eines beweglich aufgehängten Stabes. Lenkt man ein Pendel aus seiner vertikalen Ruhelage aus, schwingt es… …   Deutsch Wikipedia

  • Pendel — Pen|del [ pɛndl̩], das; s, : Körper (2), der an einem Punkt aufgehängt ist und – verursacht durch die Schwerkraft – hin und herschwingt: das Pendel der Uhr anstoßen. * * * Pẹn|del 〈n. 13〉 um eine Achse drehbar gelagerter starrer Körper, der… …   Universal-Lexikon

  • Pendel — (lat. Pendulum, »das Hangende«), in seiner einfachsten Form ein an einem Faden aufgehängter schwerer Körper. Fig. 1. Pendel. Denkt man sich den Faden gewichtslos und den Körper als ein einziges schweres Massenteilchen, so hat man ein einfaches… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Physisches Pendel — Bei einem physikalischen Pendel oder Trägheitspendel handelt es sich um ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel werden hierbei Form und Größe des Körpers berücksichtigt …   Deutsch Wikipedia

  • Fadenpendel — Pendel (reibungsfrei) Ein mathematisches Pendel ist eine Idealisierung eines realen Pendels. Es ist ein grundlegendes Modell zum Verständnis von Pendelschwingungen. Mathematische Pendel sind durch zwei wesentliche Eigenschaften charakterisiert:… …   Deutsch Wikipedia

  • Triplependel — Dieser Artikel wurde aufgrund von inhaltlichen Mängeln auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Physik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Physik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden… …   Deutsch Wikipedia

  • Reduzierte Pendellänge — Bei einem physikalischen Pendel oder Trägheitspendel handelt es sich um ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel werden hierbei Form und Größe des Körpers berücksichtigt …   Deutsch Wikipedia

  • Stoßmittelpunkt — Bei einem physikalischen Pendel oder Trägheitspendel handelt es sich um ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel werden hierbei Form und Größe des Körpers berücksichtigt …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.