Maximalideal

Maximalideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein Ideal \mathfrak{m} \subseteq R maximal, wenn \mathfrak{m} ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion \subseteq (teilweise) geordneten Menge aller echten Ideale. D.h. \mathfrak{m} \neq R und für jedes Ideal \mathfrak{a} \subseteq R gilt:

Aus \mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{a} \neq R folgt \mathfrak{a} = \mathfrak{m}.

In anderen Worten:

Ein Ideal \mathfrak{m} \subsetneq R ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von R ist.

Bemerkungen

  • Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
  • Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
  • Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
  • Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein (noetherscher) Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet.
  • Sei \mathfrak{m} ein Ideal des kommutativen Ringes R mit 1. Der Faktorring L = R/\mathfrak{m} ist genau dann ein Körper, wenn \mathfrak{m} maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
  • Ein maximales (zweiseitiges) Ideal \mathfrak{m}\subseteq R eines Ringes R ist genau dann prim, wenn RR \nsubseteq \mathfrak{m}. Insbesondere ist \mathfrak{m} prim, falls R ein Einselement enthält.

Beispiele

\mathrm{ev}_0\colon C(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R},\quad f \mapsto f(0).
Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev0 ist \mathbb{R}, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0) = 0, ein maximales Ideal.

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