Meridianbogen


Meridianbogen

Als Meridianbogen wird eine nord-südlich verlaufende Messstrecke auf der Erdoberfläche oder ihr mathematisches Äquivalent auf dem Erdellipsoid bezeichnet (vgl. Meridian).

Erstgenannte Messstrecke kann bei der „Methode der Gradmessung“ zur Bestimmung der mittleren Erdkrümmung und damit des Erdradius dienen. Dazu müssen auch die geografischen Breiten der beiden Streckenendpunkte (φ1, φ2) gemessen werden. Diese Breitenbestimmungen erfolgen astronomisch, indem die Höhenwinkel von Sternen beobachtet werden.

Die Strecke wird nun auf Meeresniveau reduziert und ihre Länge mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen. Hat der Meridianbogen die Länge B und die Breitendifferenz den Betrag β = |φ12|, so ergibt sich der lokale Krümmungsradius mit R = B/β. Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden – wie z. B. 1735–1740 bei den berühmten Expeditionen der Pariser Akademie nach Lappland und Peru.

Seit ca. 1900 werden in der Geodäsie jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte Vermessungsnetze verwendet.

Mathematische Beschreibung

Ein Meridianbogen auf einem Rotationsellipsoid hat die genaue Form einer Ellipse. Daher lässt sich seine Länge – gezählt vom Äquator – als elliptisches Integral berechnen und in Form einer Reihe nach Funktionen der geografischen Breite φ darstellen:

B = C\varphi + D\sin 2\varphi + E\sin 4\varphi + F\sin 6\varphi + \cdots usw.

Der erste Koeffizient C hängt mit dem mittleren Erdradius zusammen und beträgt für das Bessel-Ellipsoid 111,120 km/Grad. Der zweite Koeffizient D hängt mit der Erdabplattung zusammen und beträgt 15,988 km. Die Werte für andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle.

Die Entwicklung mittels Exzentrizität e2 gibt bereits Jean-Baptiste Joseph Delambre 1799:

\begin{align}B\approx
&\;a(1-e^2)\left\{\left(1+\frac{3}{4}e^2+\frac{45}{64}e^4+\frac{175}{256}e^6+\frac{11025}{16384}e^8\right)\varphi\right. \\
&\ -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}e^2+\frac{15}{16}e^4+\frac{525}{512}e^6+\frac{2205}{2048}e^8\right)\sin 2\varphi \\
&\ +\frac{1}{4}\left(\frac{15}{64}e^4+\frac{105}{256}e^6+\frac{2205}{4096}e^8\right)\sin 4\varphi \\
&\ -\frac{1}{6}\left(\frac{35}{512}e^6+\frac{315}{2048}e^8\right)\sin 6\varphi \\
&\ +\frac{1}{8}\left.\left(\frac{315}{16384}e^8\right)\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}

Friedrich Robert Helmert benutzte n=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}\simeq\frac{e^2}{4} 1880:

\begin{align}B\approx 
  &\;\frac{a}{1+n}\left\{\left(1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\right)\varphi-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}\right)\sin 2\varphi\right. \\
  &\ \left.+\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right)\sin 4\varphi-\frac{35}{48}n^3\sin 6\varphi+\frac{315}{512}n^4\sin 8\varphi\right\}\\ 
\end{align}

Allgemeine Formeln gab Kazushige Kawase 2009:

B=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\varepsilon_k\right)^2\left\{\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\left(\frac{1}{l}-4l\right)\sin 2l\varphi\prod_{m=1}^l\varepsilon_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right\}

wobei εi = 3n / 2in.

Literatur

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Meridianbogen Kremsmünster — Die Sternwarte Kremsmünster bildet den Zentralpunkt des Meridianbogens. Der Meridianbogen Kremsmünster wurde im späten 19. Jahrhundert als Zentralteil eines mitteleuropäischen Meridianbogens von Preußen bis zur Adria beobachtet bzw. aus älteren… …   Deutsch Wikipedia

  • Erde, Erdmessung [1] — Erde, Erdmessung (Gradmessung). Nach der heute als gültig betrachteten Hypothese über die Entstehung des Sonnensystems ist die Erde ein Körper, der sich aus einem rotierenden kosmischen Gasball durch Abkühlung und Zusammenziehung allmählich… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Gradmessung — Gedenktafel auf dem Großen Feldberg (Taunus) Als Gradmessung wird eine astronomisch geodätische Methode bezeichnet, die vom 16. bis ins 20. Jahrhundert zur Vermessung der Erdfigur verwendet wurde. Der Name kommt von der genauen Bestimmung jener… …   Deutsch Wikipedia

  • Erde: Die Vermessung unseres Planeten —   Schon die Griechen der Antike haben Erdmessungen durchgeführt. So bestimmte Eratosthenes aus den Höhenwinkeln der Sonne in Alexandria und Syene (heute Assuan) und der Entfernung dieser Orte voneinander (850 km) den Erdradius. Da die Entfernung… …   Universal-Lexikon

  • Au (Gemeinde Kremsmünster) — Wappen Karte …   Deutsch Wikipedia

  • Basislinie (Technik) — Als Basis oder Grundlinie wird in verschiedenen Fachgebieten der Technik eine genau gemessene Strecke bezeichnet, von der aus die Position anderer Punkte gemessen werden kann. Inhaltsverzeichnis 1 Vermessung 1.1 Distanzmessung 1.2… …   Deutsch Wikipedia

  • Benediktinerstift Kremsmünster — Wappen Karte …   Deutsch Wikipedia

  • Besselellipsoid — Das Bessel Ellipsoid (auch Bessel 1841) ist ein wichtiges Referenzellipsoid für Europa. Friedrich Wilhelm Bessel hat es 1841 aus den Daten großräumiger Vermessungen in Europa, in Russland), in Indien und Peru abgeleitet. Das von Bessel… …   Deutsch Wikipedia

  • Boscovich — Rugjer Josip Bošković, Gemälde von R. Edge Pine, 1760 Rugjer Josip Bošković (* 18. Mai 1711 in Ragusa, damals autonome Stadtrepublik, heute Dubrovnik, Kroatien; † 12. Februar 1787 in Mailand, Italien) geboren und war ein Jesuit …   Deutsch Wikipedia

  • Boskovich — Rugjer Josip Bošković, Gemälde von R. Edge Pine, 1760 Rugjer Josip Bošković (* 18. Mai 1711 in Ragusa, damals autonome Stadtrepublik, heute Dubrovnik, Kroatien; † 12. Februar 1787 in Mailand, Italien) geboren und war ein Jesuit …   Deutsch Wikipedia