Miller-Indizes


Miller-Indizes
Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel (Koordinatenurspung an der Ecke vorn links unten; x- nach rechts, z- nach oben, y-Achse in die Bildebene)

Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Ebenen und Richtungen (bzw. Vektoren) in Kristallsystemen, somit der Kristallorientierung. Die Schreibweise wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.

Beispiele für ihren Einsatz sind:

Inhaltsverzeichnis

Notation

Gitterebene

Drei ganzzahlige Indizes h\!\,, k\!\, und l\!\, bilden das Zahlentriplett (hkl)\!\,, dies sind die millerschen Indizes. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise (\bar 1 0 \bar 2)\!\,. Dieses Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene auch kristallographisch äquivalente Ebenen gemeint, so wird die Notation \{hkl\}\!\, verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit \{1 0 0\}\!\, in einem kubischen Gitter die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen (1 0 0)\!\,, (\bar  1 0 0)\!\,, (0 1 0)\!\,, (0 \bar 1 0)\!\,, (0 0 1)\!\, und (0 0 \bar 1)\!\,, was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Da eine Netzebenen-Schar auch immer einen Punkt im Reziproken Gitter des Kristalls darstellt, kann mit dem Triplett (hkl)\!\, auch ein Vektor im reziproken Raum bezeichnet werden.

Gittervektoren

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch die millerschen Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation [u v w]\!\, verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation \langle u v w \rangle\!\, bezeichnet alle zum Vektor [u v w]\!\, kristallographisch äquivalenten Richtungen.

Definition

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2} und \vec{a_3} mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden. Die Basis des zugehörigen Reziproken Gitters sei durch die Vektoren \vec{g_1}, \vec{g_2} und \vec{g_3} gegeben.

Gitterebene

Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten eine Gitterebene zu definieren.

Zum Einen bezeichnet der Index ( h k l )\!\, die Ebene, die durch die drei Punkte \tfrac{1}{h} \vec{a_1}, \tfrac{1}{k} \vec{a_2} und \tfrac{1}{l} \vec{a_3} geht. Also schneiden die Basisvektoren des jeweiligen Kristallsystems die Ebenen gerade an den Kehrwerten der einzelnen Indizes. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen, d.h. der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Die andere Möglichkeit ist, mit ( h k l )\!\, den reziproken Gittervektor

h \vec{g_1} + k \vec{g_2} + l \vec{g_3}

zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen h\!\,, k\!\, und l\!\, verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektor

Entsprechend beschreibt die Notation [ u v w ]\!\, einen Vektor im realen Gitter

u \vec{a_1} + v \vec{a_2} + w \vec{a_3}.

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene ( u v w )\!\,. Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Vierer-Schreibweise

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise (HKIL)\!\, bevorzugt. Die Ebenen-Indizes der Vierer-Schreibweise ergeben sich aus der herkömmlichen Dreier-Schreibweise (hkl)\!\, als:

\begin{align}
H & = h\\
K & = k\\
I & = -(H+K)\\
L & = l.\\
\end{align}

Auch für die Richtungs-Indizes, gibt es eine Vierer-Schreibweise: [UVTW]\!\,. Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise [uvw]\!\, ist unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

\begin{align}
U & = \tfrac{1}{3}(2u - v)\\
V & = \tfrac{1}{3}(2v - u)\\
T & = -(U+V)\\
W & = w.\\
\end{align}

Der Vorteil der Vierer-Schreibweise liegt darin, dass der Vektor [UVTW]\!\,, ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht auf der Ebene (UVTW)\!\, steht. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall.

Literatur

  • Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl., Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7
  • Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl., New York, Wiley 1996. ISBN 0-471-11181-3

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Miller-Indizes — Mịl|ler In|di|zes [nach dem brit. Kristallographen W. H. Miller (1801–1880)]; Syn.: Miller᾿sche Indizes: in der Kristallographie zur Kennzeichnung von Netzebenen, Kristallflächen u. formen benutzte Symbole h k l, die kleine, ganze, positive oder …   Universal-Lexikon

  • Bravais-Miller-Indizes — Bra|vais Mịl|ler In|di|zes [bra vɛ ; nach A. Bravais]: ↑ Miller Indizes …   Universal-Lexikon

  • Miller — bezeichnet: einen Familiennamen, siehe Miller (Familienname) einen englischen Brauereinkonzern, siehe SABMiller eine US amerikanische Brauerei, siehe Miller Brewing Company einen US amerikanischen Motorradhersteller, siehe Miller… …   Deutsch Wikipedia

  • Miller'scher Index — Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel (Koordinatenurspung an der Ecke vorn links unten; x nach rechts, z nach oben, y Achse in die Bildebene) Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Ebenen und… …   Deutsch Wikipedia

  • Miller Index — Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel (Koordinatenurspung an der Ecke vorn links unten; x nach rechts, z nach oben, y Achse in die Bildebene) Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Ebenen und… …   Deutsch Wikipedia

  • Miller indices — Milerio indeksai statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kristalinės gardelės simetrijos plokštumų žymėjimo indeksai. atitikmenys: angl. Miller indices vok. Flächenindizes, m; Mille Indizes, m; Millersche Indizes, m rus.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • Millersche Indizes — Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter. Die Schreibweise (hkl) wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller… …   Deutsch Wikipedia

  • Mille-Indizes — Milerio indeksai statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kristalinės gardelės simetrijos plokštumų žymėjimo indeksai. atitikmenys: angl. Miller indices vok. Flächenindizes, m; Mille Indizes, m; Millersche Indizes, m rus.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • Millersche Indizes — Milerio indeksai statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kristalinės gardelės simetrijos plokštumų žymėjimo indeksai. atitikmenys: angl. Miller indices vok. Flächenindizes, m; Mille Indizes, m; Millersche Indizes, m rus.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • millersche Indizes — mịllersche Ịndizes   [nach dem britischen Kristallographen William Hallowes Miller, * 1801, ✝ 1880], in der Kristallographie zur Kennzeichnung von Netzebenenscharen und Kristallflächen verwendete Zahlentripel (h k l ), wobei h, k und l ganze,… …   Universal-Lexikon