Monge-Ampere Gleichung

Monge-Ampere Gleichung

Eine monge-ampèresche Gleichung, oder monge-ampèresche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem ("problème du remblai-déblai", etwa: "Problem von Erdaufschüttung und -aushub") für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine monge-ampèresche Gleichung über einem offenen Gebiet \Omega \subset \mathbb{R}^n die Form

  
   \det\, D^2 u = f
   

wobei u: \Omega \to \mathbb{R} , mit u = u(x_1, \ldots, x_n) die unbekannte Funktion ist, f: \Omega \times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} eine gegebene Funktion f = f(x_1, \ldots, x_n, u, u_{x_1}, \ldots u_{x_n}), und



  D^2 u = \begin{pmatrix}
    u_{x_1x_1} & \cdots & u_{x_1 x_{n}} \\
     \vdots   &   \ddots & \vdots \\
    u_{x_n x_1} & \cdots & u_{x_n x_n}
  \end{pmatrix}
  \qquad
  \mbox{mit } u_{x_i x_j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}.


die Hesse-Matrix von u. Speziell für den zweidimensionalen Fall n=2 ergibt sich die einfache Gestalt

  
   u_{xx} u_{yy} - u_{xy}^2 = f
   

mit (x,y) \in \Omega \subset \mathbb{R}^2 und den Funktionen u(x,y) und f(x,y,u,ux,uy). Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine monge-ampèresche Gleichung bezeichnet:

  
   Ar + 2Bs + Ct + (rt - s^2) = E,
   \qquad \mbox{mit } r=u_{xx},\ s=u_{xy},\ t=u_{yy},\ p=u_x,\ q=u_y,
   

wobei A, B, C und E Funktionen von (x, y, u, p, q) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit A=B=C=0 und E=f die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

Sei n=2 und f(x,y) = 4(1 − y2)(1 − x2) − 16x2y2. Dann ist u(x,y) = (1 − x2)(1 − y2) eine Lösung der monge-ampèreschen Differentialgleichung, denn uxx = − 2(1 − y2), uyy = − 2(1 − x2), uxy = uyx = − 4xy, und daher 
 \det\, D^2 u = \det \begin{pmatrix} -2(1-y^2) & -4xy \\ -4xy & -2(1-x^2) \end{pmatrix} 
= f(x,y).

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine monge-ampèresche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen. Erläuterungen:

  • "partielle Differentialgleichung", denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion u gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.
  • "voll nichtlinear", da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von u quadratisch auftauchen.


Eine wichtige Klasse sind die elliptischen monge-ampèrescher Gleichungen, die für n=2 die Bedingungen ACB2 + E > 0 und t + A > 0 erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach f > 0.

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der monge-ampèreschen Gleichung sind innermathematischer Art. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine monge-ampèresche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen monge-ampèreschen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu monge-ampèreschen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli.

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