Mordell-Vermutung


Mordell-Vermutung

Die Vermutung von Mordell entstammt der Zahlentheorie, wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd Faltings in seinem Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern[1] (Faltings' Satz) bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

Problemstellung und Historie

Wenn K ein Zahlkörper und C eine nichtsinguläre Kurve definiert über K sind, dann besteht die Frage, wie viele Punkte der Kurve C(K) selbst Koordinaten in K haben.

  • Falls das Geschlecht g von C gleich 0 ist, ist C isomorph zum eindimensionalen projektiven Raum über dem algebraischen Abschluss von K, also  C \cong \mathbb{P}^1(\overline{K}) . Daher kann C(K) leer oder eine unendliche Menge \left( C(K) \cong \mathbb{P}^1(K) \right) sein.
  • Im Fall g = 1 ist bekannt: wenn C(K) mindestens einen Punkt mit Koordinaten in K hat, dann sind C eine elliptische Kurve und C(K) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Letzteres ist als Satz von Mordell-Weil geläufig und impliziert, dass C(K) endlich oder unendlich sein kann.

Von besonderem Interesse ist dabei der Fall des Körpers der rationalen Zahlen, für den die Vermutung ursprünglich von Louis Mordell formuliert war. Nach dem Satz gibt es für Kurven vom Geschlecht g größer 1 nur endlich viele rationale Punkte auf der Kurve. Kurven über den rationalen Zahlen zeigen also wesentlich verschiedenes Verhalten für g=0,g=1 und g größer 1 - eine topologische Größe bestimmt das zahlentheoretische Verhalten. Für ganze Zahlen hatte das schon Carl Ludwig Siegel in den 1920er Jahren bewiesen.

Formulierung der Vermutung und Hinweise zum Beweis durch Faltings

Seien K ein Zahlkörper und C eine nichtsinguläre Kurve definiert über K vom Geschlecht g > 1. Dann ist C(K) endlich.

In seiner Arbeit bewies er auch die Tate-Vermutung von John T. Tate und die Vermutung von Igor Shafarevich, indem er den Übersetzungsmechanismus von Funktionenkörpern auf Zahlkörper von Suren Arakelov ausbaute.

Sonstiges

Auf anderem Weg hat nach Faltings Paul Vojta den Satz bewiesen.

Faltings trug seinen Beweis zuerst auf der mathematischen Arbeitstagung in Bonn am 17. und 19. Juli 1983 vor. 1986 erhielt er dafür die höchste Auszeichnung für Mathematiker, die Fields-Medaille. Manchmal wird die Vermutung von Mordell, die ja nun ein bewiesener Satz ist, nach Faltings Satz von Faltings genannt.

Der Satz liefert auch einen wichtigen Beitrag zum Beweis der fermatschen Vermutung, denn die fermatsche Gleichung xn + yn = 1 hat nach ihm für  n \geq 3 nur endlich viele rationale Lösungen.

Literatur

  • Spencer Bloch: The proof of the Mordell conjecture. Mathematical Intelligencer, Bd. 6, 1984, S.41.
  • Gerd Faltings: Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresbericht Deutscher Mathematikerverein, 1984, S.1-13.

Weblinks

Quellen

  1. Invent. Math. 73 (3): 349-366, bzw. errata

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Vermutung von Mordell — Die Vermutung von Mordell entstammt der Zahlentheorie, wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd Faltings in seinem Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern[1] (Faltings Satz) bewiesen.… …   Deutsch Wikipedia

  • Mordell — Louis Mordell in Nizza, 1970 Louis Joel Mordell (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in Cambridge, England) war ein amerikanisch britischer Mathematiker, der vor allem in der Zahlentheorie, spezi …   Deutsch Wikipedia

  • Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer — Die Vermutung von Birch und Swinnerton Dyer ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven. Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Status 3 Literatur …   Deutsch Wikipedia

  • Louis Joel Mordell — Louis Mordell in Nizza, 1970 Louis Joel Mordell (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in Cambridge, England) war ein amerikanisch britischer Mathematiker, der vor allem in der Zahlentheorie, spezi …   Deutsch Wikipedia

  • Louis Mordell — in Nizza, 1970 Louis Joel Mordell (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in Cambridge, England) war ein amerikanisch britischer Mathematiker, der vor allem in der Zahlentheorie, speziell der …   Deutsch Wikipedia

  • Abc-Vermutung — Die abc Vermutung ist eine 1985 von Joseph Oesterlé und David Masser aufgestellte mathematische Vermutung. Dabei geht es um eine Eigenschaft von Tripeln von untereinander teilerfremden natürlichen Zahlen, bei denen die dritte die Summe der beiden …   Deutsch Wikipedia

  • Mordellsche Vermutung — Die Vermutung von Mordell entstammt der Zahlentheorie, wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd Faltings in seinem Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern[1] (Faltings Satz) bewiesen.… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Mordell-Weil — Der Satz von Mordell Weil ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Er besagt, dass für eine abelsche Varietät A über einem Zahlkörper K die Gruppe A(K) der K rationalen Punkte endlich erzeugt ist. Den Spezialfall,… …   Deutsch Wikipedia

  • abc-Vermutung — Die abc Vermutung ist eine 1985 von Joseph Oesterlé und David Masser aufgestellte mathematische Vermutung. Dabei geht es um eine Eigenschaft von Tripeln zueinander teilerfremder natürlicher Zahlen, bei denen die dritte die Summe der beiden… …   Deutsch Wikipedia

  • mordellsche Vermutung — mordẹllsche Vermutung,   von dem britischen Mathematiker Louis Joel Mordell (* 1888, ✝ 1972) 1922 aufgestellte Vermutung, nach der sich auf jeder ebenen algebraischen Kurve des Geschlechts ≧ 2 nur endlich viele rationale Punkte (d. h. Punkte,… …   Universal-Lexikon