Astroide
Graph der Astroide
Animation der Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine Kurve, die sich durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^3 \
y = a (\sin t)^3 \

oder durch die implizite Gleichung

|x|^{\frac{2}{3}} + |y|^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

beschreiben lässt. Dabei ist a eine feste reelle Zahl, t der Parameter. Für den Flächeninhalt A gilt

A = \frac{3}{8} \pi a^2.

Die Länge \ell eines Umlaufs ( 0 \le t \le 2\pi ) beträgt

\ell = 6|a|.

Die Astroide ist auch ein Spezialfall der Hypozykloide. Sie stellt auch das Karo auf gewöhnlichen Spielkarten dar.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
Intervall xS yS
Ebenes Kurvenstück 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}} \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}
0 ≤ t ≤ π 0 \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}
Ebene Figur 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{256}{315} \pi a \tfrac{256}{315} \pi a
0 ≤ t ≤ π 0 \tfrac{256}{315} \pi a
Drehkörper* 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{21}{128}a 0

*Bei Rotation um die X-Achse (zS = 0)

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^3 \
y = b (\sin t)^3 \

oder durch die implizite Gleichung

\left|{\frac{x}{a}}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{\frac{y}{b}}\right|^{\frac{2}{3}} = 1

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

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