Raumkrümmung

Die Raumkrümmung ist eine mathematische Verallgemeinerung von gekrümmten Flächen (2 Dimensionen) auf den Raum (3 oder mehr Dimensionen). Die ungekrümmte oder Euklidische Geometrie wird erweitert, um gekrümmte Mannigfaltigkeiten mittels Methoden der nicht-euklidischen Geometrie zu beschreiben.

Siehe auch: Krümmung

Inhaltsverzeichnis

2-dimensionales Beispiel

Die Oberfläche einer Kugel ist eine 2-dimensionale Fläche, die krumm im 3-dimensionalen Raum liegt.

Obwohl man jeden Punkt der Kugeloberfläche durch seine Koordinaten im 3-dimensionalen Raum angeben kann, ist es oft einfacher, eine zweidimensionale Beschreibung zu wählen. Auf der Erdoberfläche etwa werden Punkte durch Zuordnung einer geographischen Länge und Breite eindeutig bestimmt.

3-dimensionale Verallgemeinerung

Entsprechende Vorstellungen verbergen sich hinter der Raumkrümmung. Allerdings sind unsere Sinne auf die Wahrnehmung maximal dreidimensionaler geometrischer Strukturen beschränkt. Man kann daher eine Raumkrümmung nicht sehen, man kann sie sich auch nicht vorstellen.

Rein formal lässt sich eine entsprechende Krümmung eines 3-dimensionalen 'Obervolumens' einer 4-dimensionalen Kugel formulieren.

Innere und äußere Krümmung

Man unterscheidet bei der Krümmung zwischen der inneren und der äußeren Krümmung.

Die innere Krümmung lässt sich anhand der Geometrie im gekrümmten Raum selbst feststellen. Beispielsweise können Dreiecke auf der Kugeloberfläche eine Innenwinkelsumme von mehr als 180 Grad (bis zu 540 Grad) haben, im Gegensatz zu ebenen Dreiecken mit einer konstanten Winkelsumme von 180 Grad. Die innere Krümmung kann positiv sein (wie auf einer Kugel) oder negativ (wie der Kühlturm eines AKWs). In einem negativ gekrümmten Raum ist die Innenwinkelsumme weniger als 180 Grad.

Die äußere Krümmung kann nur festgestellt werden, indem die Lage des Raums im umgebenden, höherdimensionalen Raum, die so genannte Einbettung, betrachtet wird. Flächen mit äußerer Krümmung, aber ohne innere Krümmung erhält man z.B., indem man ein Blatt Papier aufrollt, wellt, oder sonstwie verbiegt, ohne dass man es entweder zerreißt oder verknittert. Auf solchen Flächen ändern sich die Gesetze der Geometrie nicht (Beispiel: Die Innenwinkelsumme eines aufs Papier gemalten Dreieck ändert sich nicht, wenn man das Papier aufrollt).

Eindimensionale Räume (Linien) haben grundsätzlich keine innere Krümmung, sondern nur, sofern sie in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sind, eine äußere Krümmung.

Praktische Anwendung

Nach heutigem Verständnis wird der Raum um uns herum durch die Allgemeine Relativitätstheorie Albert Einsteins beschrieben. Allerdings geht die Theorie über die reine Raumkrümmung hinaus, da in der Relativitätstheorie der dreidimensionale Raum und die Zeit eine vierdimensionale Raumzeit bilden.

Die Theorie sagt aus, dass alle Formen von Energie die Raumzeit krümmen. Diese Verformung erzeugt ein Beschleunigungsfeld, welches die Bewegungszustände der Energieformen bzw. Massen in diesem Bereich beeinflusst. Damit stehen Raumzeit und Energie in direkter Wechselwirkung miteinander. Diese Wechselwirkung ist es, was wir als Gravitation wahrnehmen.

In dieser gekrümmten Raumzeit sind „gerade“ Linien (Geodätische Linien) die Linien extremalen Abstandes. Dies sind genau die Linien, denen eine frei fallende Masse oder ein Lichtstrahl folgt (zu beachten: Die Massen bzw. Lichtstrahlen folgen im Allgemeinen nicht den Geodäten des Raumes, da sie z.B. durch Reibung bzw. Brechung, Beugung oder Reflexion abgelenkt werden). Daher kann die Krümmung der Raumzeit durch die Ablenkung des Lichts durch eine Masse nachgewiesen werden. Eine derartige Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie kann bei einer Sonnenfinsternis durch die Lichtablenkung scheinbar nahe der Sonne stehender Sterne geschehen.

Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass die Raumzeit nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist. Somit hat die Raumzeit nur eine innere, aber keine äußere Krümmung.

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