Satz von Dini

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

Ausformuliert bedeutet dies Folgendes: Ist X ein kompakter topologischer Raum,

(f_i\colon X \rightarrow \mathbb{R})_{i\in\N}

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

f_i(x) \leq f_{i+1}(x)

für alle natürlichen Zahlen i und alle x\in X und existiert eine stetige Grenzfunktion f, das heißt

\lim_{i\to \infty}f_i(x) = f(x)

für alle x\in X, so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen f, das heißt

\lim_{i\to \infty} \sup_{x\in X}|f_i(x) - f(x)| = 0

Beweis

Für ein vorgegebenes ε > 0 setze

E_i:=\{x\in X|f(x)-f_i(x)<\epsilon\}.

Da die Folge der fi punktweise gegen f konvergiert, bilden die Ei eine Überdeckung von X, die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung (Ei)i ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil X kompakt ist, wird X bereits von endlich vielen der Ei überdeckt. Ist N der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt Ei = X für alle größeren Indizes i gilt. Also ist

|f(x)-f_i(x)| = f(x)-f_i(x)<\epsilon \, für alle x\in X und i>N \,,

woraus die Behauptung folgt.

Bemerkung

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge (-f_i)_{i\in \N} sieht.

Literatur

  • Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. Vieweg Verlag (1981), ISBN 3-528-07252-0 (dort §4, Satz 1)
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7

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