Wohlordnung

Eine Wohlordnung einer Menge S ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von S ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung hat. Die Menge S zusammen mit der Wohlordnung heißt eine wohlgeordnete Menge. Beide Begriffe stammen aus der Mengenlehre von Cantor.

Zum Beispiel ist die normale Anordnung der natürlichen Zahlen eine Wohlordnung, aber weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung.

Ist eine Menge S wohlgeordnet, so gibt es keine unendlich lange absteigende Kette, d. h. keine unendliche Folge (a_i) in S, so dass für alle i gilt a_{i + 1} < a_i. Unter Verwendung einer schwachen Version des Auswahlaxioms (Axiom of Dependent Choice) folgt auch die Umkehrung: Wenn es in S keine unendliche absteigende Kette gibt, so ist S wohlgeordnet.

In einer wohlgeordneten Menge gibt es stets ein Element ohne Vorgänger, nämlich das kleinste Element von S selbst. Der Nachfolger eines Elements ist immer eindeutig bestimmt. Es kann ein größtes Element geben, das keinen Nachfolger hat. Mehrere Elemente ohne Nachfolger sind nicht möglich.

Dagegen kann es mehrere (sogar unendlich viele) Elemente ohne Vorgänger geben.

Hierfür ein Beispiel: Die natürlichen Zahlen sollen so geordnet sein, dass jede gerade Zahl „größer“ ist als jede ungerade Zahl. Untereinander sollen die geraden und die ungeraden Zahlen wie üblich geordnet sein, also in der folgenden Art:

$1 < 3 < 5 < \cdots < 2 < 4 < 6 < \cdots$

Offenbar ist dies eine wohlgeordnete Menge: Enthält eine Teilmenge irgendwelche ungeraden Zahlen, so ist die kleinste von ihnen auch „kleinste“ Zahl der Teilmenge (alle geraden Zahlen sind „größer“); enthält sie nur gerade Zahlen, so ist die kleinste aus diesen auch die „kleinste“ im Sinne der Wohlordnung, denn ungerade Zahlen, die „kleiner“ wären, sind ja nicht vorhanden. Die Ordinalzahl dieser Wohlordnung wird üblicherweise mit ω + ω bezeichnet. Es gibt hier kein größtes Element, aber zwei Elemente ohne Vorgänger: die Eins und die Zwei.

Wenn eine Menge wohlgeordnet ist, dann kann die Technik der transfiniten Induktion genutzt werden, um zu zeigen, dass eine gegebene Aussage für alle Elemente dieser Menge zutrifft. Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall der transfiniten Induktion.

Der Wohlordnungssatz besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Unter Zugrundelegung der übrigen mengentheoretischen Axiome ist dieser Satz äquivalent zum Auswahlaxiom.

Siehe auch

• Ordinalzahl, fundierte Menge, Wohlordnungssatz

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, Seiten 222–230