Bernoullische Differentialgleichung

Die bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

y'(x)=f(x)y(x) + g(x) y^\alpha(x),\ \alpha\notin \lbrace0,1\rbrace.

Durch die Transformation

\ z(x) := (y(x))^{1-\alpha}

kann man sie auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Inhaltsverzeichnis

Satz über die Transformation der bernoullischen Differentialgleichung

Sei x_0 \in (a, b) und

\left\{\begin{array}{ll}
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{falls}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{falls}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

z'(x) = (1 − α)f(x)z(x) + (1 − α)g(x).

Dann ist

y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}

die Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

y'(x) = f(x)y(x) + g(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.

Weiter besitzt die bernoullische Differentialgleichung für jedes α > 0 trivialerweise y\equiv 0 als Lösung für y0 = 0.

Beweis

Es gilt

\begin{array}{lll}
y'(x) &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}z'(x)\\
&=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}\bigl((1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x)\bigr)\\
&=& f(x)z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}+ g(x)z(x)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\\
&=& f(x)y(x)+ g(x)y^\alpha(x)\ ,
\end{array}

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

\Box

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

y'(x) = ay(x) - by^2(x),\ y(0) = y_0 > 0,\ a, b > 0

ist eine bernoullische Differentialgleichung mit α = 2. Löst man daher

z'(x) = -az(x) + b\ ,\ z(0) = \frac{1}{y_0},

ergibt sich

z(x) = \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{y_0} - \frac{b}{a}\right)e^{-ax}.

Da z(x) > 0 für alle x > x mit

x^- := \left\{\begin{array}{ll}
-\infty\ ,&\textrm{falls}\ a \geq by_0,\\
\frac{1}{a}\ln(1-\frac{a}{by_0})\ ,&\textrm{falls}\ a < by_0,\\
\end{array}\right.

ist

y(x) := \frac{1}{z(x)} = \frac{1}{\frac{b}{a}+\left(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}}

die Lösung obiger Gleichung auf (x^-, \infty).

Literatur

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3-519-32227-7

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