Berührung (Mathematik)

Zwei mathematische Kurven berühren sich genau dann, wenn ihre Tangenten in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmen. Verallgemeinert besteht an einem Punkt, der beiden Kurven gemeinsam ist, eine Berührung n-ter Ordnung, wenn alle Ableitungen bis zur n-ten Ordnung in diesem Punkt übereinstimmen (Berührbedingung).

Sind zwei Kurven in der Form \,y=f(x) und \,y=g(x) gegeben, so sind ihre Berührungspunkte die Punkte, in denen \,f(x)=g(x) und \,f'(x)=g'(x) gilt.

Hat eine Funktion f an einer Stelle \,x_0 eine n-fache Nullstelle mit \,n>1, so berührt die \,x-Achse den Funktionsgraphen in \,(n-1)-ter Ordnung. Wenn man also die Differenzfunktion \,(f-g)(x) zweier Funktionen \,f(x) und \,g(x) bildet, und besitzt die Funktion \,(f-g)(x) an einer Stelle eine n-fache Nullstelle, so folgt daraus, dass sich die Graphen von \,f(x) und \,g(x) an dieser Stelle mit \,(n-1)-ter Ordnung berühren.

In jedem Punkt einer Kurve, in dem die Tangente die Kurve nicht in höherer Ordnung berührt, gibt es einen eindeutig bestimmten Kreis, der die Kurve in diesem Punkt in höherer Ordnung berührt. Er wird Krümmungskreis oder Schmiegungskreis genannt. Zum Beispiel ist der Einheitskreis um den Koordinatenursprung der Schmiegungskreis der Kosinus-Funktion im Punkt \,(0, 1).

Aus der Taylorentwicklung erhält man das eindeutig bestimmte Polynom n-ter Ordnung, dessen Funktionsgraph eine n-mal differenzierbare Kurve in n-ter Ordnung berührt. Es kann als lokale Approximation für die Kurve nützlich sein, siehe Taylor-Formel.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Berührung durch eine Gerade.

Siehe auch


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