Besselsche Ungleichung

Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor x eines Hilbertraums mindestens so "lang" ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume.

Aussage

Ist also H ein Hilbertraum und S \subset H ein Orthonormalsystem, so gilt für alle x\in H die Ungleichung

\sum_{e \in S} \vert \langle x, e\rangle \vert^2 \leq \Vert x \Vert^2

wobei \langle \cdot,\cdot \rangle das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.

Gilt in der besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, so heißt sie parsevalsche Gleichung und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume dar.

Literatur

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 

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