Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist α ganzzahlig und  \alpha\ge 0 , so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges α und für α < 0 liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1 + x)α mit Entwicklungspunkt 0.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form (a + b)n kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl α und alle reellen x im Intervall \left]-1,1\right[ das Binom (1 + x)α darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe \alpha, x\in\Bbb C; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls \alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei | x | = 1 und \alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}.

  • Die Reihe \textstyle \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k konvergiert genau dann absolut wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist. [Re(α) = Realteil von α]
  • Für alle x\neq -1 auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn Re(α) > − 1 ist.
  • Für x = − 1 konvergiert die Reihe genau dann, wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man α = − 1 und ersetzt x durch x so erhält man

\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k\,.

Da \tbinom{-1}{k}=(-1)^k ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als \textstyle \sum_{k=0}^\infty x^k. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

Quellen


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • binomische Reihe — binomische Reihe,   binomischer Lehrsatz …   Universal-Lexikon

  • binomische Reihe — binominė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. binomial series vok. Binomialreihe, f; binomische Reihe, f rus. биномиальный ряд, m pranc. série binomiale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Binomische Formeln — Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern, zum… …   Deutsch Wikipedia

  • Binomische Gleichung — Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern, zum… …   Deutsch Wikipedia

  • Binomische Formel — Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern, zum anderen erlauben… …   Deutsch Wikipedia

  • Reihe — Reihe, 1) mehre in einer Linie neben einander befindliche Dinge; 2) das Aufeinanderfolgen nach festgesetzter Ordnung; 3) jede Folge von Größen (die Glieder [Termini] derselben genannt), welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die R n… …   Pierer's Universal-Lexikon

  • Allgemeine binomische Formel — Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form als Polynom n ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. Dieser Satz zählt in… …   Deutsch Wikipedia

  • Arithmetische Reihe — Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im allgemeinen divergent …   Deutsch Wikipedia

  • Binomialentwicklung — Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form als Polynom n ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. Dieser Satz zählt in… …   Deutsch Wikipedia

  • Binomialsatz — Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form als Polynom n ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. Dieser Satz zählt in… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”