- Gebrochene Brownsche Bewegung
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Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:
wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.
Inhaltsverzeichnis
Eigenschaften
Selbstähnlichkeit
XH ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse und für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.
Stationäre Inkremente
Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:
- falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
- falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
- falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.
Pfadeigenschaften
Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index α für jedes α < H.
Stochastische Integration
Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.
Weblinks
Quellen
Biagini, F., Hu, Y., Øksendal, B. and Zhang, T.: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. London, 2008.
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